3．1次関数：中学2年数学―オリジナル基礎教科書
中学数学[総目次]
中学2年数学 3章 1次関数
1次関数検定
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1．1次関数
関数とは？（復習）
「関数」という用語は，1年生のときに4章比例と反比例 で学習しました。
関数とは$x$ の値を決めると，それに対応して $y$ の値がただ1つに決まるとき，$y$ は $x$ の関数である
🌈例 $y=2x$
- $x=1$ → $y=2$
- $x=2$ → $y=4$
- $x=3$ → $y=6$
- …
ここでは $y=2x+1$ のような形の関数を学習します。
1次関数とは？
$y=2x+1$ や $y=2x$ のように，$y$ が $x$ の1次式で表された関数のことを，1次関数（1じかんすう）といいます。
1次関数とは$y=ax+b$ の形をした関数のこと
※ $\boldsymbol{b=0}$ つまり $\boldsymbol{y=ax}$ の形も1次関数
⭕1次関数の例
\begin{align*}
&y=x\\[5pt]
&y=-4x\\[5pt]
&y=x+2\\[5pt]
&y=2x+5\\[5pt]
&y=-\dfrac23x+\dfrac25
\end{align*}
❌1次関数ではない例
\begin{align*}
&y=2\\[5pt]
&y=x^2\\[5pt]
&y=\dfrac 1x
\end{align*}
$y=2x+1$ の値の変化はどうなっているの？
🔎 $y=2x+1$ の値の変化を調べよう
🎯 次が大事！
$\dfrac{\ y\ \mbox{の増加量}\ }{\ x\ \mbox{の増加量}\ }$ は常に一定！
🪄 例えば
- $x$ の値が1から3まで変化するとき
- $x$ の増加量は 3－1＝2
- $y$ の増加量は 7－3＝4
\[\dfrac{\ y\ \mbox{の増加量}\ }{\ x\ \mbox{の増加量}\ }=\dfrac42=2\]
- $x$ の値が $-1$ から $2$ まで変化するとき
- $x$ の増加量は $2-(-1)=3$
- $y$ の増加量は $5-(-1)=6$
\[\dfrac{\ y\ \mbox{の増加量}\ }{\ x\ \mbox{の増加量}\ }=\dfrac63=2\]
つまり，$y=2x+1$ のとき，
$\dfrac{\ y\ \mbox{の増加量}\ }{\ x\ \mbox{の増加量}\ }$ は常に２
そして，この2という値はココに現れている！
この2を，関数 $y=2x+1$ の 変化の割合（へんかのわりあい） といいます。
変化の割合とは
変化の割合 $=\dfrac{\ y\ \mbox{の増加量}\ }{\ x\ \mbox{の増加量}\ }$
1次関数 $y=ax+b$ では，変化の割合は $a$
🌈例
- $y=2x$，$y=2x+5$，$y=2x-3$，$y=2x+\dfrac13$
これらはみんな，変化の割合は2 - $y=-x+2$，$y=-x+5$，$y=-x-3$，$y=-x+\dfrac13$
これらはみんな，変化の割合は $-1$
例題 1次関数 $y=4x-1$ について，次の各問いに答えなさい。
(1) $x$ の値が2から7まで変わるとき，$y$ の増加量は，$x$ の増加量の何倍ですか。
(2) 変化の割合を求めなさい。
(3) $x$ の増加量が10のとき，$y$ の増加量を求めなさい。
こたえ
(1)
$x=2$ のとき，$y=4\times 2-1=7$
$x=7$ のとき，$y=4\times 7-1=27$
よって
\[\dfrac{\ y\ \mbox{の増加量}\ }{\ x\ \mbox{の増加量}}=\dfrac{27-7}{7-2}=\dfrac{20}5=4\]
答え ４倍
(2)
変化の割合は，$x$ の係数に現れます。
答え ４
(3)
変化の割合とは，次を意味します。
$x$ が1だけ増加したときの，$y$ の増加量
$y=4x-1$ の場合，それは4です。
よって，$x$ が10だけ増加したので，
\[4\times10=40\]
答え ４０
1次関数のグラフとは？
📈1次関数 $y=2x+1$ をグラフに表してみよう。
点 $(-3,\ -5)$，$(-2,\ -3)$，$(-1,\ -1)$，
$(0,\ 1)$，$(1,\ 3)$，$(2,\ 5)$，$(3,\ 7)$
これらの点を座標平面上にとると，次のようになります。
$y=2x+1$ を満たす $x,\ y$ の組は，他にもたくさんあります。
点 $(0.1,\ 1.2)$，$(0.2,\ 1.4)$，$(0.3,\ 1.6)$，…
このように，多くの点をとっていくと，次のような直線となります。
この直線が，1次関数 $y=2x+1$ のグラフです。
1次関数 $\boldsymbol{y=ax+b}$ のグラフとは
- 1次関数 $y=ax+b$ を満たす $x$ と $y$ の組を点の座標とし，それらのすべてを，座標平面上にとったときにできる図形のこと
- 1次関数 $y=ax+b$ のとき，その図形（グラフ）は直線
$y=ax$ と $y=ax+b$ のグラフは，どういう関係なの？
2つの1次関数 $y=2x$ と $y=2x+1$ の関係を調べよう。
この表から次がわかります。
$y=2x+1$ の $y$ は，$y=2x$ の $y$ より1だけ大きい。
グラフでは
$y=2x+1$ のグラフは，$y=2x$ のグラフを上方向に1だけ移動させたもの
つまり，
$y=2x+1$ と $y=2x$ のグラフは平行
