4．図形の性質と合同：中学2年数学―オリジナル基礎教科書
中学数学[総目次]
中学2年数学 4章 図形の性質と合同
図形の合同検定
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1．直線と角
対頂角とは
2本の直線が交わるとき，向かい合う角を対頂角（たいちょうかく）といいます。
図の，赤色どうしの角が対頂角。
青色どうしの角も対頂角
重要
対頂角は等しい
🤔「なぜ？」
ポイントは一直線にできる角が180°であるということ。
もし，図の青色の角が70°だったら？
赤色の角はどちらも $180^\circ-70^\circ$ で $110^\circ$
だから対頂角は等しい！
例題 次の図で，$\angle a$ ～ $\angle d$ の大きさを求めなさい。
こたえ
対頂角は等しいから，$\angle a=80^\circ,\ \angle b=30^\circ$
一直線の角は $180^\circ$ だから，$\angle c=180^\circ-(80^\circ+30^\circ)=70^\circ$
対頂角は等しいから，$\angle d=\angle c=70^\circ$
答え $\angle a=80^\circ,\ \angle b=30^\circ,\ \angle c=\angle d=70^\circ$
同位角と錯角
🔹同位角とは？
次の図において，赤色どうしのような位置関係にある角を，それぞれ同位角（どういかく）といいます。
この図には，同位角の関係にあるものが全部で4組あります。
🔹錯角とは？
次の図において，赤色のような位置関係にある角を，それぞれ錯角（さっかく）といいます。
この図には，錯角の関係にあるものが全部で2組あります。
例題 次の図で，$\angle a$ の同位角をいいなさい。また，$\angle p$ の錯角をいいなさい
こたえ
$\angle a$ の同位角は $\angle p$
$\angle p$ の錯角は $\angle c$
平行線の同位角と錯角
重要
同位角が等しいならば，$\boldsymbol{\ell\, //\, m}$
🤔「なぜ？」
おおざっぱにいうと，三角定規2つで平行線が引けるから。
重要
錯角が等しいならば，$\boldsymbol{\ell\, //\, m}$
🤔「なぜ？」
図の①対頂角が等しいから，
「錯角が等しい」ならば，「同位角も等しい」
がいえます。
次に，先ほど学んだ内容により，
「同位角が等しい」ならば，「$\ell\, //\, m$」
よって，
錯角が等しい $\Longrightarrow$ 同位角が等しい $\Longrightarrow \ell\,//\, m$
が成り立つから，真ん中を省略して，
錯角が等しい $\boldsymbol{\Longrightarrow \ell\,//\, m}$
が成り立ちます。
平行線の錯角
実は「同位角が等しい $\Longrightarrow \ell\,//\, m$」 の逆，つまり
$\ell\,//\,m$ ならば，同位角が等しい
もいえます！
更に，
$\ell\,//\,m$ ならば，錯角が等しい
もいえます！！
まとめ
2直線 $\ell,\ m$ について
- $\ell\, //\,m$ ならば，同位角も錯角も等しい
- 同位角が等しいならば，$\ell\,//\,m$
- 錯角が等しいならば，$\ell\,//\,m$
例題 次の図について，各問いに答えなさい。
(1) $\ell\,//\,m$ である理由をいいなさい。
(2) $\angle x,\ \angle y$ の大きさを求めなさい。
(3) $\ell$ と $m$ 以外に平行な直線の組を見つけて，記号 // を使って表しなさい。
こたえ
(1) 同位角が110°で等しいから。
(2) 平行線の同位角は等しいから $\angle x=60^\circ$
平行線の錯角は等しいから $\angle y=70^\circ$
(3) $p//q$
2．三角形の角
内角と外角
🪄内角とは
△ABCにおいて，∠A，∠B，∠C を，△ABCの内角（ないかく）といいます。
🪄外角とは
次の図色を付けた角のような角を外角といいます。
三角形では1つの内角につき，2つの外角がありますから，
全部で2×3＝6個の外角があります。
次の図の青色の6つの角が外角です。
重要 (小学校の復習)
- 三角形の3つの内角の和は180°
- 三角形の1つの外角は，それと隣り合わない2つの内角の和に等しい。
🤔三角形の3つの内角の和が180°になるのはなぜ？
次の図のような平行線を引きます。
平行線の錯角は等しいので，（あ）＝（え）
平行線の同位角は等しいので， （い）＝（お）
よって，
(あ)＋(い)＋(う)
＝(え)＋(お)＋(う)
＝180°
例題 次の図で，$\angle x$ の大きさを求めなさい。
(1)
(2)
こたえ
(1) $\angle x=30^\circ+50^\circ=\underline{\boldsymbol{80^\circ}}$
(2) $\angle x=120^\circ-80^\circ=\underline{\boldsymbol{40^\circ}}$
🪄鋭角(えいかく)・鈍角(どんかく)とは
🔹鋭角：0°より大きく90°より小さい角
🔹鈍角：90°より大きく180°より小さい角
この用語を用いると，三角形は次の3つのどれかに分類されます。
- 鋭角三角形：3つの内角がすべて鋭角の三角形
- 直角三角形：1つの内角が直角の三角形
- 鈍角三角形：1つの内角が鈍角の三角形
三角形の3つの内角の和は180°なので，鈍角はあっても1つ。
🙄「どうして？？」
鈍角が2つ以上あると，内角の和が180°を超えてしまいます！
例題 2つの内角の大きさが次のようなの三角形は，鋭角三角形，直角三角形，鈍角三角形のどれになるか答えなさい。
(1) 20°，80°
(2) 35°，55°
(3) 30°，45°
こたえ
(1) 残りの角の大きさは，$180^\circ-(20^\circ+80^\circ)=80^\circ$
よって，鋭角三角形
(2) 残りの角の大きさは，$180^\circ-(35^\circ+55^\circ)=90^\circ$
よって，直角三角形
(3) 残りの角の大きさは，$180^\circ-(30^\circ+45^\circ)=105^\circ$
よって，鈍角三角形
3．多角形の内角と外角
多角形の内角の和
Q. 五角形の内角の和は？
内部に三角形が3個できるから，
$180\times3=540^\circ$
Q. 六角形の内角の和は？
内部に三角形が4個できるから
$180\times4=720^\circ$
多角形の内角の和は
- 三角形 180°×（３－2）＝180°
- 四角形 180°×（４－2）＝360°
- 五角形 180°×（５－2）＝540°
- 六角形 180°×（６－2）＝720°
$\vdots$
一般に $n$ 角形では，内部に $(n-2)$ 個の三角形をかくことができます。
よって，$n$ 角形の内角の和は
$180\times(n-2)=180(n-2)^\circ$
重要
$\boldsymbol{n}$ 角形の内角の和は $\boldsymbol{180(n-2)^\circ}$
例題 次の各問いに答えなさい。
(1) 正八角形の1つの内角の大きさを求めなさい。
(2) 内角の和が900°になるような多角形は何角形か答えなさい。
こたえ
(1) $180^\circ\times(8-2)=180^\circ\times6=1080^\circ$
よって $1080\div8=\underline{\boldsymbol{135^\circ}}$
(2) $n$ 角形だとすると
\[180^\circ\times(n-2)=900^\circ\]
両辺を $180$ で割って $n-2=5$
よって $n=7$
答えは 七角形
多角形の外角の和
重要
多角形の外角の和は360°である
外角の和は，それが何角形であっても，関係なく360°です！
🤔「どうして？」
どの頂点でも，内角と外角の1つの和は180°
頂点 $n$ 個分の合計は $180\times n$
内角の合計を引いて
\begin{align*} 180n-180(n-2)&=180n-180n+360\\[5pt] &=360^\circ \end{align*}
計算結果に $n$ が含まれていません。
つまり，外角の和は $n$ の値に関係なく，常に360°です！
補足
180°より大きい内角については，その外角は考えません。
例題 次の図において，$\angle x$ を求めなさい。
(1)
(2)
こたえ
(1) \begin{align*} \angle x&=360^\circ-(130^\circ+120^\circ)\\[5pt] &=360^\circ-250^\circ\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{110^\circ}} \end{align*}
(2) \begin{align*} \angle x&=360^\circ-(90^\circ+50^\circ+70^\circ+80^\circ)\\[5pt] &=360^\circ-290^\circ\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{70^\circ}} \end{align*}
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中学2年数学 4章 図形の性質と合同