受験数学において,「ファクシミリの原理」と呼ばれる魅力的な考え方があります.「大学への数学(東京出版)」で用いられている大変印象的な用語で,考え方の本質を「ファクシミリ」になぞらえているところがユニークでもあります.

 ファクシミリの原理という考え方の基本は,簡単な例題を用いてスライドで解説していますのでそちらをご覧ください.ここでは京都大学の本格的な問題を用いて,自然な発想でのやり方と,ファクシミリの原理を用いたやり方の2通りで説明してみます.

※ iPhone等でスライドが閲覧できない障害について(復旧)-詳細
Q. $xy$ 平面上の原点と点 $(1,\ 2)$ を結ぶ線分(両端を含む)を $L$ とする.曲線 $y=x^2+ax+b$ が $L$ と共有点をもつような実数の組 $(a,\ b)$ の集合を $ab$ 平面に図示せよ.
(京都大)

答その1 [自然な発想]

 $L:y=2x\ (0\leqq x\leqq1)$ と表されますから,曲線 $y=x^2+ax+b$ が $L$ と共有点をもつための条件は,2次方程式 $x^2+ax+b=2x$ 即ち \[x^2+(a-2)x+b=0\] が,$0\leqq x\leqq1$ の範囲に少なくとも1つの解をもつことです.
 $f(x)=x^2+(a-2)x+b$ とおくと,放物線 $y=f(x)$ は下に凸で,軸は直線 $x=-\dfrac{a-2}2$ です.
 方程式 $f(x)=0$ が $0\leqq x\leqq1$ の範囲に少なくとも1つの解をもつのは,次の[1], [2] の場合が考えられます:

[1] $f(0)=0$ または $f(1)=0$ のとき,即ち $b=0$ または $a+b-1=0$ のとき
  このときは題意を満たします.

[2] $f(0)\neq0$ かつ $f(1)\neq0$ のとき,即ち $b\neq0$ かつ $a+b-1\neq0$ のとき
  $1^\circ$ 重解を含む2解がともに $0< x <1$ の範囲にあるとき
   このとき,$f(x)=0$ の判別式を $D$ とすると, \[\begin{align*} &\left\{\begin{array}{l} \\ D=(a-2)^2-4b\geqq0\\[5pt] \mbox{軸}:0<-\dfrac{a-2}2<1\\[5pt] f(0)=b>0\\[5pt] f(1)=a+b-1>0 \end{array}\right.\\ \therefore\ \ &\left\{\begin{array}{l} \\ b\leqq \dfrac{(a-2)^2}4\\[5pt] 0< a < 2\\[5pt] b > 0\\[5pt] b > -a+1 \end{array}\right. \end{align*}\]   $2^\circ$ $0< x <1$ にただ1つの解をもつとき \[f(0)f(1)<0\ \mbox{即ち}\ b(a+b-1)<0\] 以上により,実数の組 $(a,b)$ の集合は,図の斜線部分のようになります.ただし境界線を含みます.

補足

 2次方程式の解の配置については,数学Ⅰ 第1章 2次関数 7. 2次方程式の解の配置のスライド,及び【ノート】をご覧ください.

答その2 [ファクシミリの原理]

 $x^2+(a-2)x+b=0\ \cdots$ ① が $0\leqq x\leqq 1$ の範囲に少なくとも1つの解をもつ $(a,\ b)$ の条件を求めればよいわけですが,そのために①を変形して \[ b=-x^2-(a-2)x\ \cdots\ \mbox{②}\] としておきます.そして次がファクシミリの原理という考え方のポイントです. 

$\boldsymbol{a}$ を固定する

 すると,②の右辺は $x$ の2次関数であり.これを $f(x)$ とおくとき,

$\boldsymbol{b=f(x)}$ の値域を調べる

というのがファクシミリの原理という考え方のキモです.従って本問の場合は2次関数の最大・最小問題に帰着されますが,もし $f(x)$ が3次以上の関数ならば微分によって値域を探ります. \[f(x)=-\left(x+\frac{a-2}2\right)^2+\frac{(a-2)^2}4\] となり,グラフは上に凸ですから,$0\leqq x\leqq 1$ における $f(x)$ の値域は \[ {\rm min}\{f(0),f(1)\}\leqq f(x)\leqq{\rm max}\left\{\!f(0),f(1),f\!\left(\!-\frac{a\!-\!2}2\!\right)\!\right\} \]  つまり, \[ {\rm min}\{0,-a+1\}\leqq b\leqq{\rm max}\left\{\!0,-a+1,\frac{(a-2)^2}4\!\right\} \] となります.ただし,右辺の $f\!\left(\!-\dfrac{a\!-\!2}2\right)$ は,軸が定義域内に入っている $0\leqq-\dfrac{a-2}2\leqq1$ 即ち $0\leqq a\leqq 2$ の範囲のみで有効になります.
 以上により,実数の組 $(a,\ b)$ の集合は上の図の境界を含む斜線部分となります.

補足1

 ファクシミリの原理を用いた「答その2」で出てきた max,min の部分の詳しい考え方については,数学Ⅰ 第1章 2次関数 3. 2次関数の最大・最小のスライド,及び【ノート】をご覧ください.

補足2

 $ab$ 平面上において,$x$ を固定しておいた直線 $x^2+(a-2)x+b=0$ 即ち $b=-xa-x^2+2x$ は,放物線 $b=\dfrac{(a-2)^2}4$ の $a=2-2x\ (0\leqq x\leqq1)$ における接線の方程式です.従って,上の図の斜線領域は,接点の $a$ 座標が $0\leqq a \leqq 2$ と変化するときの接線の通過領域となっています.