スライド ノート 問題
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2. ベクトルの演算 [無料]    
3. ベクトルの成分 [無料]    
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演習問題

問題１【発展】
　四面体ABCDにおいて，次で表される点Pの存在範囲を求めよ．\[\overrightarrow{\rm OP}=p\,\overrightarrow{\rm OA}+q\,\overrightarrow{\rm OB}+r\,\overrightarrow{\rm OC}+s\,\overrightarrow{\rm OD}\]\[p+q+r+s=1,\ p\geqq0,\ q\geqq0,\ r\geqq0,\ s\geqq0\]

問題１【発展】

　四面体ABCDにおいて，次で表される点Pの存在範囲を求めよ．\[\overrightarrow{\rm OP}=p\,\overrightarrow{\rm OA}+q\,\overrightarrow{\rm OB}+r\,\overrightarrow{\rm OC}+s\,\overrightarrow{\rm OD}\]\[p+q+r+s=1,\ p\geqq0,\ q\geqq0,\ r\geqq0,\ s\geqq0\]

　まず定理を証明するための補助定理(補題といいます)を証明して，そのあとに本体を証明します．

解答

　まず次の補題を示す．

　点Pが△ABCの周及び内部にある
\[\begin{align*}
\iff\hspace{10mm} &\overrightarrow{\rm OP}=r\overrightarrow{\rm OA}+s\overrightarrow{\rm OB}+t\overrightarrow{\rm OC},\\
&r+s+t=1,\ r\geqq0,\ s\geqq0,\ t\geqq0
\end{align*}\]

(証明)

　点Pが△ABCの周及び内部にある

\[\iff \overrightarrow{\rm AP}=s\overrightarrow{\rm AB}+t\overrightarrow{\rm AC},\ s+t\leqq1,\ s\geqq0,\ t\geqq0\]

が成り立つから，始点を点Oに書き換えて

\[\overrightarrow{\rm OP}-\overrightarrow{\rm OA}=s(\overrightarrow{\rm OB}-\overrightarrow{\rm OA})+t(\overrightarrow{\rm OC}-\overrightarrow{\rm OA})\]

\[\therefore \overrightarrow{\rm OP}=(1-s-t)\overrightarrow{\rm OA}+s\overrightarrow{\rm OB}+t\overrightarrow{\rm OC}\]

　$1-s-t=r$ とおくと，係数の条件は