vol.4 有理数・無理数のこたえ

演習問題1

(1)　小数を含む掛け算は，①まず小数点がないものとみなして普通に掛け算をします．そのあと，②2つの数の小数点が一番右から何番目の位の前にあるかを数え，その和を$k$とすると，③計算した結果の一番右から$k$番目の位の前に小数点をつけておけばよいことになります．

手順①　まずは小数点がないものとみなして普通に計算． $$36\times 4=144$$

手順②　2数の小数点の位置を調べる． $$\begin{array}{c}3.6\to \mathrm{右}\mathrm{か}\mathrm{ら}1\mathrm{番}\mathrm{目}\mathrm{の}\mathrm{位}\mathrm{の}\mathrm{前}\mathrm{に}\mathrm{あ}\mathrm{る}．\\ 0.4\to \mathrm{右}\mathrm{か}\mathrm{ら}1\mathrm{番}\mathrm{目}\mathrm{の}\mathrm{位}\mathrm{の}\mathrm{前}\mathrm{に}\mathrm{あ}\mathrm{る}．\\ \mathrm{故}\mathrm{に}，1+1=2 (\mathrm{こ}\mathrm{の}\mathrm{値}\mathrm{を}k\mathrm{と}\mathrm{す}\mathrm{る}．)\end{array}$$

手順③　①で求めた結果の右から$k$番目の位の前に小数点をつける．
　　　　→ 一番右から2番目の位の前に小数点をつけると， $$1.44\cdots (\text{答})$$

(2)　小数を含む割り算は，①割る数が整数になるよう2数に$10,100,1000\cdots$ などを掛け，②普通に割り算を行います．このとき小数点の位置は割られる数に合わせておきます．

手順①　割る数が整数になるよう2数に$10,100,1000\cdots$ などを掛ける．
　　　　→ 割る数5.1を10倍すれば整数になるから，7.242と5.1に10を掛けて， $$\begin{array}{c}7.242\to 72.42\\ 5.1\to 51\end{array}$$ 　　　　故に，$72.42÷51$を計算すればよい．

補足　$7.242÷5.1=72.42÷51$であることは分数で考えるとわかりやすいです． $$\begin{array}{rl}7.242÷5.1& =\frac{7.242}{5.1}\\ & =\frac{7.242\times 10}{5.1\times 10}\\ & =\frac{72.42}{51}\end{array}$$

手順②　普通に割り算する． $$\begin{array}{c}\underset{―}{1.42}\\ 51)72.42\\ \underset{―}{51}\\ 214\\ \underset{―}{204}\\ 102\\ \underset{―}{102}\\ 0\end{array}$$ よって， $$1.42\cdots (\text{答})$$

演習問題2

(1) $$\begin{array}{rl}5\sqrt{2}\times 3\sqrt{2}& =(5\times 3)\times (\sqrt{2}\times \sqrt{2})\\ & =15\times 2\\ & =30\cdots (\text{答})\end{array}$$

(2) $$\begin{array}{rl}3\sqrt{5}\times 4\sqrt{15}& =(3\times 4)\times (\sqrt{5}\times \sqrt{5})\times \sqrt{3}\\ & =12\times 5\times \sqrt{3}\\ & =60\sqrt{3}\cdots (\text{答})\end{array}$$

(3) $$\begin{array}{rl}24\sqrt{6}÷8\sqrt{3}& =\frac{24\sqrt{6}}{8\sqrt{3}}\\ & =\frac{24}{8}\cdot \sqrt{\frac{6}{3}}\\ & =3\sqrt{2}\cdots (\text{答})\end{array}$$

(4) $$\begin{array}{rl}2\sqrt{14}÷3\sqrt{2}& =\frac{2\sqrt{14}}{3\sqrt{2}}\\ & =\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}}\\ & =\frac{2}{3}\sqrt{\frac{14}{2}}\\ & =\frac{2\sqrt{7}}{3}\cdots (\text{答})\end{array}$$

(5) $$\begin{array}{rl}\sqrt{3}(2+\sqrt{2})& =\sqrt{3}\times 2+\sqrt{3}\times \sqrt{2}\\ & =2\sqrt{3}+\sqrt{6}\cdots (\text{答})\end{array}$$ (6) $$\begin{array}{rl}3\sqrt{2}(\sqrt{2}-2\sqrt{6})& =3\sqrt{2}\times \sqrt{2}-3\sqrt{2}\times 2\sqrt{6}\\ & =3\cdot (\sqrt{2}\cdot \sqrt{2})-3\sqrt{2}\times 2\cdot (\sqrt{2}\cdot \sqrt{3})\\ & =3\times 2-3\cdot 2\cdot (\sqrt{2}\cdot \sqrt{2})\cdot \sqrt{3}\\ & =6-12\sqrt{3}\cdots (\text{答})\end{array}$$

演習問題3

(1) $$\begin{array}{rl}\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}& =\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{2}}{\sqrt{2}\times \sqrt{2}}\\ & =\frac{\sqrt{6}}{2}\cdots (\mathrm{答})\end{array}$$

(2) $$\begin{array}{rl}\frac{9}{\sqrt{3}}& =\frac{9\times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}\\ & =\frac{9\sqrt{3}}{3}\\ & =3\sqrt{3}\cdots (\mathrm{答})\end{array}$$

(3) $$\begin{array}{rl}\frac{4}{3+\sqrt{5}}& =\frac{4\times (3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})\times (3-\sqrt{5})}\\ & =\frac{4(3-\sqrt{5})}{3^2-(\sqrt{5}{)}^2}\\ & =\frac{4(3-\sqrt{5})}{9-5}\\ & =\frac{4(3-\sqrt{5})}{4}\\ & =3-\sqrt{5}\cdots (\mathrm{答})\end{array}$$

(4) $$\begin{array}{rl}\frac{-5}{2-\sqrt{6}}& =\frac{-5\times (2+\sqrt{6})}{(2-\sqrt{6})\times (2+\sqrt{6})}\\ & =\frac{-5(2+\sqrt{6})}{2^2-(\sqrt{6}{)}^2}\\ & =\frac{-5(2+\sqrt{6})}{4-6}\\ & =\frac{-5(2+\sqrt{6})}{-2}\\ & =\frac{10+5\sqrt{6}}{2}\cdots (\mathrm{答})\end{array}$$