どうして(負)×(負)＝(正)になるの？その理由と数直線での理解

1．かけ算の仕組み

かけ算は，次のように計算すると，どんな教科書にも書いてあります。

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🤔でも，どうしてこのように計算されるのでしょうか？

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それは，このあとすぐに学ぶ，

分配法則(分配のきまり)という計算の基本法則を成り立たせるため

なのです。

具体例で説明していきましょう。

なぜ負の数どうしの積が正の数になるのか（ちょっと難しい…💦）

1. 「答えが0になる式」を用意する

まず，次の式を見てください。

\[-2 \times \{3 + (-3)\} = \color{red}{0}\]

中カッコ{ }の中は $3-3 = 0$ なので，何をかけても答えは $0$ です。

2. 分配法則で「バラバラ」にする

次に，この式を分配法則（分配のきまり）でバラバラにします。

\[(-2 \times 3) + \{-2 \times (-3)\} = 0\]

3. 分かっているところだけ計算する

左側の $(-2 \times 3)$ は「$-2$（2の借金）が3倍」という意味なので，答えは $-6$ です。

\[-6 + \{-2 \times (-3)\} = 0\]

4. 結論：分配法則を成り立たせるための「必然」

さて，上の式を成立させるためには，$\{-2 \times (-3)\}$ はいくつでなければならないでしょうか？

「$-6$ に足して $0$ になる数」は，世界に1つ，$+6$ しかありません。

つまり，

\[-2 \times (-3) = 6\]

でないと，数学のルールが壊れてしまうのです。

2．数直線でイメージ

計算のルール（分配法則）を守ると，答えは $+6$ になりました。

この結果を，今度は数直線を使ってイメージしてみましょう。

数直線では，マイナスをかけるとき

向きを180度パタンと裏返す

と考えます。

●正の数を掛ける

　例えば，ある数Aに，正の数3を掛ける計算であるA×3の場合，数直線を用いて次のように計算します。

例1　(－2)×3

　数直線で，原点から－2までは，距離が2で左向き。
→この向きのまま，距離を3倍（2×3=6）にして進む。
→止まった場所は −6。

答えは　－6

例2　(－2)×0.5

　数直線で，原点から－2までは，距離が2で左向き。
→この向きのまま，距離を0.5倍（2×0.5=1）にして進む。
→止まった場所は −1。

答えは　－1

●負の数を掛ける

　例えば，ある数Aに負の数－3を掛ける計算であるA×(－3)の場合，数直線を用いて次のように計算します。

　このように，負の数を掛けるということは，加法や減法のときがそうであったように，

向きが逆転する

と理解しておくと間違いがありません。

ポイント負の数を掛ける　→　進む向きが逆転

例3　2×(－3)

　数直線上で，原点から2までは，距離が2で右向き。
→逆の左向きに，距離を3倍（2×3=6）にして進む。
→止まった場所は −6。

答えは　－6

例4　(－2)×(－3)

　数直線上で，原点からの－2までは，距離が2で左向き。
→逆の右向きに，距離を3倍（2×3=6）にして進む。
→止まった場所は 6。

答えは　6