演習問題1
$x = 1, 2, 3, 6, 9, 18$の6通り…(答)
実は $x$ は全て18の約数です．当たり前ですね．よって約数を何個持つかさえわかればいいわけですから，これは計算で求めることができます．
18を素数(自分自身と1以外に約数をもたない数のことをいいます．2,3,5,7,11,…などの数です．1は素数に含まないので注意して下さい．)の積の形に分解(素因数分解)すると
\[18 = 2^1 \times 3^2 \]
よって，18の約数は，素因数2を何個使うかで0個か1個の2通り．この各々に対して，素因数3を何個使うかで0個か1個か2個の3通り．故に，18は$2 \times 3 = 6$個の約数を持ちます．
以上を踏まえると，例えば同じ問題設定で
\[ \frac{64800}{x} \]
の場合，
\[ 64800 = 2^5 \times 3^4 \times 5^2 \]
ですから，64800が持つ約数の個数は
\begin{align*}
(5+1) \times (4+1) \times (2+1) &= 6\times5\times3\\
&= 90個
\end{align*}
よって答えは90通りです．
演習問題2
$\displaystyle(1)\ \frac{2}{3} \div \frac{1}{5}
= \frac{2}{3} \times \frac{5}{1}
= \frac{2 \times 5}{3} = \frac{10}{3}\ \cdots(答)$
$\displaystyle(2)\ \frac{2}{3} \div 5 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{5}
= \frac{2}{3 \times 5} = \frac{2}{15}\ \cdots(答)$
演習問題3
(1) \begin{align*} \frac{\frac{5}{2}}{\frac{15}{4}} &= \frac{5}{2} \div \frac{15}{4}\\ &= \frac{5}{2} \times \frac{4}{15}\\ &= \frac{5 \times 4}{2 \times 15}\\ &= \frac{2}{3}\ \cdots(答) \end{align*}
(2)
\begin{align*}
\frac{2}{1+\frac{1}{3}} &= \frac{2}{\frac{3+1}{3}}\\
&= \frac{2}{\frac{4}{3}} \\
&= 2 \div \frac{4}{3}\\
&= 2 \times \frac{3}{4}\\
&= \frac{2 \times 3}{4}\\
&= \frac{3}{2}\ \cdots(答)\\
\end{align*}
演習問題4
(1) $75 \div 13 = 5 \ldots 10$．よって，$75 = 13 \times 5 +10$．故に \begin{align*} \frac{75}{13} &= \frac{13 \times 5 +10}{13}\\ &= \frac{13 \times 5}{13} + \frac{10}{13}\\ &= 5 + \frac{10}{13} \end{align*} 「$+$」の記号を取って \[ 5\frac{10}{13}\ \cdots (答)\]
(2) \begin{align*} 4\frac{2}{11} &= 4 + \frac{2}{11}\\ &= \frac{4\times11}{11} + \frac{2}{11}\\ &= \frac{44 + 2}{11}\\ &= \frac{46}{11}\ \cdots (答) \end{align*}