１ 次の問いに答えなさい。
10点×4=40(点)
(1) ともこさん，かなこさん，あやこさんの3人が持っている本の冊数について，次のことがわかっています。
ともこさん：12冊
かなこさん：ともこさんの $\dfrac54$ 倍
あやこさん：ともこさんの $\dfrac34$ 倍
このとき，かなこさんの持っている本の冊数はあやこさんの何倍ですか。分数で答えなさい。
こたえ
持っている本の冊数は
かなこ：$12\times\dfrac54=15$(冊)
あやこ：$12\times\dfrac34=9$(冊)
よって $15\div9=\dfrac{15}9=\dfrac53$
答えは $\dfrac53$ 倍
【発展的な考え方】
ともこさんの持っている本の冊数を1とすると，かなこさんとあやこさんの持っている本はそれぞれ $\dfrac54,\dfrac34$ です。ここから直接計算すると $\dfrac54\div\dfrac34=\dfrac54\times\dfrac43=\dfrac{5\times\bcancel{4}}{\bcancel{4}\times3}=\dfrac53$(倍)
(2) 1Lのジュースを，1人当たり170mLずつコップに分けていきました。何人分用意できますか。また，余ったジュースは最初のジュースの何％分ですか。
こたえ
1Lは1000mLなので， 1000÷170＝5余り150
よって，5人分用意ができます。
そして全体の1000mLに対する余った150mLの割合は
$150\div1000=\dfrac{\cancel{150}^{15}}{\cancel{1000}_{100}}=\dfrac{15}{100}=0.15$
答えは 15%
(3) 6kgのねん土から，$\dfrac34$ kgのかたまりを何個とることができますか。
こたえ
$6\div\dfrac34={^2\cancel{6}}\times\dfrac4{\cancel{3}_1}=8$
答えは ８個
(4) あかりさんは45分の試験を受けています。試験開始から35分が経ちました。残り時間は試験時間の何倍ですか。分数で答えなさい。
こたえ
残り時間は45－35－10(分)
よって $10\div45=\dfrac{10}{45}=\dfrac29$
答えは $\dfrac29$ 倍
２ ひまりさんのクラスは20人です。このクラスで算数のテストを行いました。その結果，平均点は72点でした。次の表の空欄に当てはまる数字をかきなさい。
| 点数 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
| 人数 | 2 | 5 | 3 | 1 |
10点
こたえ
70点の人数を〇，80点の人数を△とします。クラスの人数が20人ですから，
2＋5＋〇＋△＋3＋1＝20
よって 〇＋△＝9(人) …①
次に，クラスの点数の合計に注目します。ただし，そのままの点数を使うのではなく，基準点からどれだけ大きいかの合計を考えます。ここでは基準点は50点にしましょう。
平均点が72点であるという条件を考えていきます。平均点は基準点より72－50＝22点高いです。つまり，平均すると1人当たり基準点より＋22点です。すると20人の合計は
22×20＝440(点)
続いて，今度は上の表から計算していきます。基準点が50点ですから50点は＋0点，60点は＋10点という風にして，点数の合計を考えましょう。
| 点数 | ＋0 | ＋10 | ＋20 | ＋30 | ＋40 | ＋50 |
| 人数 | 2 | 5 | 3 | 1 |
0×2＋10×5＋20×○＋30×△＋40×3＋50×1
＝0＋50＋20×○＋30×△＋120＋50
＝20×○＋30×△＋220(点)
これが先程計算した440点と同じになるので
20×○＋30×△＋220＝440
従って 20×○＋30×△=220 …②
①と②から〇と△に入る数字を求めていきます。
〇＋△＝9 …①
20×○＋30×△=220 …②
①から，20個の〇と20個の△の合計は9×20(＝180)となるので
20×○＋20×△＝180
これと②を比較すると，10個の△が，220－180＝40となります。つまり△1つ分は4です。(△は4人)
すると①から○は9－4＝5(人)です。
答えは 70点は5人，80点は4人
３ みさきさんと，なおさんは，それぞれ小学校で人気のあるメダル集めの遊びに取り組んでいます。2人は，持っているメダルを使ってどれだけ多くの金メダルを手に入れることができるかを相談しながら考えることになりました。
ある日，なおさんは次のように言いました。
なお 「ねえ，みさき。私，いま銅のメダルを40枚と銀のメダルを1枚持っているんだけど，このメダルでできるだけ多く金のメダルを作りたいんだ。どうしたら一番多く集められるかな？」
すると，みさきさんが答えます。
みさき 「それなら，私がこの前聞いたメダルの交換ルールを使ってみようよ。
このルールでは，
・銅のメダル3枚を銀のメダル1枚と交換できる（何度でも可能）
・銀のメダル2枚を金のメダル1枚と交換できる（何度でも可能）
・銅のメダル8枚を金のメダル1枚に特別交換できる（ただし1回だけ）
・銀のメダル3枚を金のメダル2枚に特別交換できる（2回まで）
……という決まりなんだ。」
この話を聞いて，なおさんはさっそくどのような手順で交換するのが一番良いのか考えはじめました。
10点×3=30(点)
(1) 特別交換を利用せず，最初の2つのルールだけを利用する場合，金メダルは最大で何枚になりますか。また残ったメダルがある場合はそれも書きなさい。
こたえ
40÷3＝13余り1なので，40枚の銅メダルをできるだけ多くの銀メダルと交換すると，13枚の銀メダルと，1枚の銅メダルが残ります。もともと1枚の銀メダルをもっていたので，これと合わせて銀メダルは14枚です。銀メダル2枚で1枚の金メダルと交換できるので，金メダルの枚数は 14÷2＝7(枚)
余ったのは銅メダルが1枚です。
答えは 金メダルが7枚で，銅メダルが1枚残る
(2) 4つのルールをうまく組み合わせると，金メダルは最大で何枚になりますか。また残ったメダルがある場合はそれも書きなさい。
こたえ
(1)と同様にしてできるだけ持っている銅メダルを銀メダルに交換すると，最大13枚と交換でき，銅メダルが1枚余ります。最初にもっていた銀メダル1枚と合わせて，手元にある銀メダルは14枚と，銅メダルが1枚です。ここで，4番目の条件を2回使うと，銀メダルを6枚と金メダルが4枚が交換できます。残った銀メダルは14－6＝8枚です。この8枚で，金メダルが8÷2＝4枚交換できます。よって金メダルは合計4＋4＝8枚となります。銅メダルが1枚余ります。
答えは 金メダルが8枚で，銅メダルが1枚余る。
(3) なおさんは，上記のすべての交換ルールを使ってできる限り多くの金メダルを手に入れたいと考えています。金メダルの枚数を最大にするためにはどのような順番で交換すればよいでしょうか。また，最終的に残る銀メダルと銅メダルの枚数も答えなさい。
こたえ
まずは銅メダル18枚を使って銀メダル6枚と交換し，その6枚の銀メダルを金メダル3枚に交換します。残った金メダル以外のメダルは銀1枚と，銅22枚です。3番目の条件を使わなければならいので，銅メダル8枚と金メダル1枚を交換します。これで金4枚，銀1枚，銅14枚です。銅メダル12枚と銀メダル4枚と交換し，この4枚と金メダル2枚と交換します。これで金6枚です。残りは銀1枚と銅2枚です。これらを使って金メダルと交換はできません。
答えは 金メダルが6枚で，銀メダルが1枚と銅メダル2枚が余る。
４ 次の各問いに答えなさい。
10点×2=20(点)
(1) 円の中に正九角形がぴったりと入っています。真ん中の点は円の中心です。図の角「あ」の大きさをもとめなさい。
こたえ
円の中心の周りにできる9つの角度の大きさはすべて同じで，360÷9＝40°です。角「あ」はこれが3つ分ですから，40×3＝120°
答えは 120°
(2) 図は半径5cmの円で，円の中には正六角形がぴったりと入っています。真ん中の点は円の中心です。図の三角形の面積は正六角形の面積の何倍ですか。
こたえ
図のような線を引くと，正六角形は正三角形が6つでできていることがわかります。水色部分は正三角形2つ分の面積と等しいので，
$2\div6=\dfrac26=\dfrac13$
答えは $\dfrac13$ 倍
