１ 次の問いに答えなさい。
10点×4=40(点)
(1) 3%の食塩水100gに水を50g加えてよく混ぜました。何%の食塩水になりましたか？
こたえ
今回は食塩水特集です。食塩水の濃度(％)は
濃度(％)$=\dfrac{\mbox{溶けている食塩の量}}{\mbox{食塩水の量}}\times100$
です。この式から
溶けている食塩の量＝食塩水の量×$\dfrac{\mbox{濃度}}{100}$
と表すことができます。つまり3％の食塩水100gというは，全体を100等分した3つ分が食塩の量であるということです。よって溶けている食塩の量は，100×$\dfrac3{100}=3$(g)です。この食塩水に50gの水を加えて全体を150gにするのですから
濃度(%)＝$\dfrac3{150}\times100=2(\%)$
答えは ２％
(2) 4%の食塩水100gと1%の食塩水200gを加えました。何％の食塩水ができましたか。
こたえ
まずはそれぞれに含まれる食塩の量を計算します。
4%の食塩水100gについて $100\times\dfrac4{100}=4$(g)
1%の食塩水200gについて $200\times\dfrac1{100}=2$(g)
よって食塩の量は合計 4＋2＝6(g)
そして食塩水は100＋200＝300(g)となりますから求める濃度は
$\dfrac6{300}\times100=2(\%)$
答えは ２％
(3) 4%の食塩水100gに水を100g加えてよく混ぜたのち，100gを捨てました。残った食塩水に含まれている食塩の量は何gですか。
こたえ
まずは，4％の食塩水100gに溶けている食塩の量は，(2)より4gです。
次に，この食塩水に100gの水を加えて200gにし，その半分である100gを捨てると，捨てた食塩水に含まれている食塩の量は，最初に含まれていた量の半分，つまり4÷2＝2(g)です。そして，残った食塩水に含まれる食塩の量も，元の半分の2gです。
答えは ２ｇ
(4) 1%の食塩水200gを熱して水を蒸発させ，100gにしました。この食塩水の濃度は何%ですか。
こたえ
まずは1％の食塩水200gに含まれる食塩の量は，(2)より2gです。
食塩水を熱しても，食塩は蒸発しませんから，含まれる食塩の量に変化はありません。熱せられた後の食塩水の量が100gですから，(1)のヒントにある濃度の式から
$\dfrac2{100}\times100=2$(%)
答えは ２％
２ さよりさんのクラスは30人です。このクラスで算数のテストを行いました。その結果，平均点は70点でした。次の表の空欄に当てはまる数字をかきなさい。
| 点数 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
| 人数 | 3 | 10 | 3 | 1 |
10点
こたえ
60点の人数を〇，80点の人数を△とします。クラスの人数が30人ですから，
3＋〇＋10＋△＋3＋1＝30(人)
よって 〇＋△＝13 …①
次に，クラスの点数の合計に注目します。ただし，そのままの点数を使うのではなく，基準点からどれだけ大きいかの合計を考えます。ここでは基準点は50点にしましょう。
平均点が70点であるという条件を使っていきます。平均点は基準点より72－50＝20点高いです。つまり，平均すると1人当たり基準点より＋20点です。すると30人で，基準の50より何点多く取ったか，その合計は
20×30＝600(点)
です。
続いて今度は下の表から計算していきます。基準点が50点ですから50点は＋0点，60点は＋10点という風にして，点数の合計を考えましょう。
| 基準(50)からのずれ | 0 | +10 | +20 | +30 | +40 | +50 |
| 人数 | 3 | 〇 | 10 | △ | 3 | 1 |
0×3＋10×○＋20×10＋30×△＋40×3＋50×1
＝0＋10×○＋200＋30×△＋120＋50
＝10×○＋30×△＋370
これがさっき計算した600点になるのですから
10×○＋30×△＋370＝600
よって 10×○＋30×△＝230 …②
これで①と②の2つの式ができました。
〇＋△＝13 …①
10×○＋30×△＝230 …②
①と②を共に満たす〇と△を考えていきます。
○1個と△1個を合わせると13になるというのが①です。従って，それぞれ10倍の〇10個と△10個の合計は，13×10＝130です。
10×○＋10×△＝130 …①’
10×○＋30×△＝230 …②
①’と②を比較すると，△が10から30へと20個多くなると，130から230まで100だけ増加します。△20個分が100です。つまり△1個分は100÷20＝5です。よって△＝5
この結果から①より ○＋5＝13 従って○＝8
答えは 60点8人，80点5人
３ 次の会話文を読んだ，あとの問いに答えなさい。
10点×3=30(点)
ある日，あかりとみずきが公園で遊びながら話しています。
あかり「ねえ，みずき。あそこの大きな正方形の芝生が気になるんだけど，ちょっと変わったことやってみようよ。」
みずき「変わったこと？どんなの？」
あかり「ほら，この芝生の中に小さな正方形のタイルがたてと横に5枚ずつ並んでいるでしょう？」
みずき「うん，合計25枚の小さな正方形タイルが敷かれているね。」
あかり「これらのタイルに，赤いチョークで印をつけていくのよ。その印は毎日増えていくの。最初の日は真ん中のタイルに1つだけ。」
みずき「へー，面白そうだね！増え方には何かルールでもあるの？」
あかり「毎日，印のついているタイルの上下左右に新しい印をつけるの。ただし，1度印のついたタイルには，もう印をつけないのよ。」
みずき「なるほど。それで，毎日どんどん印が広がっていくのね。」
あかり「そう。すべてのタイルに赤い印がつくまで続くの。」
みずき「面白そう！」
(1) 2日目までには赤い印がついたタイルの総数はいくつになりますか。
こたえ
答えは 5個
(2) 3日目まで同じルールで印が増えていくとき，3日目までに赤い印がついているタイルの総数はいくつになりますか。
こたえ
2日目までに印が付いたタイルは赤く塗りました。3日目までに赤い印がついているタイルの総数は13個です。
答えは 13個
(3) 5×5の25枚すべてのタイルに印がつくのは何日目ですか。また，その日に赤い印をつけたタイルの数は何枚ですか。
こたえ
これが4日目です。まだ周囲の4個が残っており，これが5日目で埋まります。
答えは 5日目で，その日は4枚
４ 次の各問いに答えなさい。
10点×2=20(点)
(1) 次の図形において，水色の角の大きさの合計を求めなさい。
こたえ
四角形の内側の4つの角の大きさの合計は360°です。つまり
い＋え＋か＋く＝360° …①
です。
次に「あ」＋「い」が180°であることに注目します。同じようにように，「う」と「え」の合計，「お」と「か」の合計，「き」と「く」の合計も180°です。つまり
あ＋い＋う＋え＋お＋か＋き＋く＝180×4＝720°
となります。よって①より求める角の大きさの合計は
あ＋う＋お＋き＝720－360＝360°
答えは 360°
(2) 次の図形において，水色の角の大きさの合計を求めなさい。
こたえ
(1)と全く同じように考えます。
五角形の内側の5つの角の合計は 180×3＝540°です。
あ＋い，う＋え，お＋か，き＋く，け＋こはすべて180°です。
180×5＝900°
よって，求める角の大きさは
あ＋う＋お＋き＋け＝900－540＝360°
答えは 360°
