１ 次の問いに答えなさい。
10点×4=40(点)
(1) 水そうに，水を毎分3リットルずつ入れていきます。$x$ 分後の水の量を $y$ リットルとするとき，$y$ を $x$ を使って表しなさい。
こたえ
1分後は3リットル
2分後は6リットル
3分後は9リットル
$\vdots$
よって水の量 $y$ は $y=3x$ となります
答えは $y=3x$
(2) (1)のとき，$x$ の値が2倍，3倍，4倍になると，$y$ の値はどうなりますか。
こたえ
(1)の考え方より，$x$ の値が2倍，3倍，4倍になると，$y$ の値も2倍，3倍，4倍となります。
答えは 2倍，3倍，4倍となる
(3) (1)のとき，$y$ は $x$ に するといいます。 にあてはまる言葉を書きなさい。
こたえ
$x$ の値が2倍，3倍，4倍，…となるとき，$y$ の値も2倍，3倍，4倍，…となるとき，$y$ は $x$ に比例する(ひれいする)といいます。
答えは 比例する
(4) $y$ を $x$ で割った商は，いつも決まった数になります。その値を答えなさい。
こたえ
(1)より $y=3x$ ですから，両辺を $x$ で割ると
\[y\div x=3x\div x\]
\[\dfrac yx=\dfrac{3x}x\]
よって $\dfrac yx=3$
答えは ３
２ 0～9の10個の数字から3つを選んで，3桁の暗証番号を作るときと，0～9の10個にA，B，Cの3つを加えた13個の数と文字から3個選んで，パスワードを作るときでは，作れる種類はどれだけ違いますか。ただし，同じ数や文字を繰り返し使っても構いません。
10点
こたえ
0～9の10個の数字のときは，０００～９９９の1000個の暗証番号が作れます。
次に，0～9の10個にA，B，Cの3つを加えた13個の数と文字から3個選んで，パスワードを作るときは，1桁につき13個の文字が使えるので，作れるパスワードの種類は
$13\times13\times13=2197$(通り)
よって $2197-1000=1197$
答えは １１９７
３ 次の文を読んであとの問いに答えなさい。
10点×3=30(点)
りお「いまちょうど1時ね。ところで，1時から2時の間で，時計長針と短針が重なる時刻はいつかしら。」
さき「それは難しい問題ね。長針と短針が重なるときは，12時のところから計った角度が同じになるときね。」
りお「なるほど！その考え方，使えそうね。まず長針は1分間に あ 度回転するわね。」
さき「短針の方は，1時間に い 度ずつ回転するから，1分間では う 度回転するね。」
りお「1時ちょうどの時点で，長針と短針の差は え 度。そして，1分あたり，長針と短針の差は お 度ずつ小さくなるね。」
さき「すると， か ÷ き ＝ く から，長針と短針が重なるのは1時 け 分ね。」
りお「ありがとう！これで解決したわ。」
(1) あ ， い ， う に当てはまる数字を書きなさい。
こたえ
長針は60分間で360°動きますから1分間では
\[360\div60=6\]
よって，1分間に6°ずつ動きます。
次に，短針は60分で $360\div12=30^\circ$ ずつ動きますから，1分間では
\[30\div60=0.5\]
よって，1分間に0.5°ずつ動きます。
答えは あ…6， い…30， う…0.5
(2) え ， お に当てはまる数字を書きなさい。
こたえ
1時ちょうどのとき，短針は5分のところを指しています。これは12時から見ると30°です。
次に，(1)より，1分間に長針は6°，短針は0.5度ずつ回転しますから，1分当たり，6－0.5＝5.5°ずつ，差がちぢまっていきます。
答えは え…30， お…5.5
(3) か ， き ， く ， け に当てはまる数字を書きなさい。ただし， け には帯分数が入ります。
こたえ
1時ちょうどの時点で，長針と短針の角度の差は30°です。1分当たり5.5°ずつちぢまるので，
\[30\div5.5=\dfrac{30}{5.5}\]
分母と分子を2倍して，
\[\dfrac{30}{5.5}=\dfrac{60}{11}=5\dfrac5{11}\]
よって，$5\dfrac5{11}$ 分後に長針と短針が重なります。
答えは か…30， き…5.5， く…$5\dfrac5{11}$ ，け…$5\dfrac5{11}$
４ 次の各問いに答えなさい。
10点×2=20(点)
(1) 1辺の長さが 3cmの正三角形を，すべることなく直線の上を転がします。図のように，2回だけ転がしたとき，正三角形が通過した部分のうち，水色の部分の面積を求めなさい。ただし，円周率は3.14とします。
こたえ
半径が3cmの円の面積は
\[3\times3\times3.14=9\times3.14\]
です。$\times3.14$は最後まで計算しないことがポイントです。
水色の部分は中心角が120°の合同なおうぎ形です。この2つを合わせると240°分のおうぎ形になります。
よって求める面積は
\[\begin{align*} 9\times3.14\times\dfrac{240}{360}&=9\times3.14\times\dfrac23\\[5pt] &=9\times\dfrac23\times3.14\\[5pt] &=6\times3.14\\[5pt] &=18.84 \end{align*}\]
答えは 18.84cm²
(2) たて2m，横1mの長方形に，図のように4mの赤いひもが結ばれています。ひもをぴんと張ったまま，図の矢印の方向に，ひもを長方形に巻きつけていくとき，ひもが通過した部分の面積を求めなさい。ただし，円周率は3.14とします。
こたえ
図のように，水色，むらさき色，緑色の3つのおうぎ形の面積の合計です。いずれも中心角は90°なので，全体の4分の1です。
水色：$4\times4\times3.14\times\dfrac14=4\times3.14$
むらさき色：$2\times2\times3.14\times\dfrac14=3.14$
緑色：$1\times1\times3.14\times\dfrac14=0.25\times3.14$
よって，
$4\times3.14+3.14+0.25\times3.14$
$=(4+1+0.25)\times3.14$
$=5.25\times3.14=16.485$(cm²)
答えは 16.485cm²
