１ 次の問いに答えなさい。
10点×4=40(点)
(1) 60÷1.3を分数で答えなさい。ただし，分母は整数にすること。
こたえ
\[60\div1.3=600\div13=\dfrac{600}{13}=9\dfrac3{13}\]
(2) 縦3cm，横4cm，高さ$x$ cmの直方体の体積を6で割ると，何cm³ですか。$x$ を使って書きなさい。
こたえ
\[\begin{align*} 3\times4\times x\div6&=3\times4\times x\times\dfrac16\\[5pt] &=\dfrac{3\times 4\times x}6\\[5pt] &=\dfrac{\overset{\color{red}2}{\bcancel{12}}\times x}{\underset{\color{red}1}{\bcancel{6}}}\\[5pt] &=2\times x \end{align*}\]
答えは 2× $x$ cm³
(3) $\dfrac{101}{44}-\dfrac{37}{33}$
こたえ
$\dfrac{101}{44}=2\dfrac{13}{44}$
$\dfrac{37}{33}=1\dfrac4{33}$
44＝4×11，33＝3×11なので，3×4×11で通分します。
$\dfrac{13}{44}=\dfrac{13\times3}{44\times 3}=\dfrac{39}{132}$
$\dfrac4{33}=\dfrac{4\times 4}{33\times4}=\dfrac{16}{132}$
よって $\dfrac{39}{132}-\dfrac{16}{132}=\dfrac{23}{132}$
また 2－1＝1
答えは $\boxed{1\dfrac{23}{132}}$
(4) $\dfrac1{1\times2}+\dfrac1{2\times3}+\dfrac1{3\times4}+\dfrac1{3\times4}$ を計算しなさい。
こたえ
\[\dfrac1{1\times2}=\dfrac11-\dfrac12\]
が成り立ちます。同じように，
\[\dfrac1{2\times3}=\dfrac12-\dfrac13\]
\[\dfrac1{3\times4}=\dfrac13-\dfrac14\]
\[\dfrac1{4\times5}=\dfrac14-\dfrac15\]
よって，
\[\begin{align*} &\dfrac1{1\times2}+\dfrac1{2\times3}+\dfrac1{3\times4}+\dfrac1{3\times4}\\[5pt] =&\left(\dfrac11-\dfrac12\right)+\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\left(\dfrac13-\dfrac14\right)+\left(\dfrac14-\dfrac15\right)\\[5pt] =&\dfrac11-\dfrac15\\[5pt] =&\dfrac45 \end{align*}\]
答えは $\boxed{\dfrac45}$
２ 白と黒のタイルを市松模様に並べた模様があり，各タイルには，図のような規則で番号が書いてあります。黒タイルの19番目に書かれている数字は何ですか。（例えば黒タイルの4番目に書かれている数字は6です。）
10点
こたえ
黒タイルを図のようなグループに分けます。
すると，黒タイルの数は，
1グループ目までに1個(=1×1)
2グループ目までに1＋3＝4個(=2×2)
3グループ目までに1＋3＋5＝9個(=3×3)
$\vdots$
となっているので，このあとは，4グループ目までに16(＝4×4)個，5グループ目までに25(＝5かけ5)個と続きます。
すると，19番目の黒タイルは，16番目と25番目の間にありますから，4グループ目まで(16個)では足りず，次の5グループ目に入り，19－16＝3で，5グループの3番目であることがわかります。
次に，黒の5グループが，黒白合わせた全体の9列目ですから，1つ手前の8列目までには1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個)の数があります。
5グループの3番目は，この36の3つあとなので，36＋3＝39であることがわかります。
答えは 39
３ 何段かの階段があります。この階段を1段，2段，3段登る方法をそれぞれA，B，Cと表すことにします。
次の各問いに答えなさい。
10点×3=30(点)
(1) 5段の石段があります。3回以内に登る方法をすべて書き，全部で何通りあるかを答えなさい。
書き方の例「AAC，ACAなど」
こたえ
①3段を1回使うとき，
2+3 → CB
3+2 → BC
1+1+3 → CAA
1+3+1 → ACA
3+1+1 → AAC
②3段を使わないとき，
1+2+2 → BBA
2+1+2 → BAB
2+2+1 → ABB
答えは BC，CB，CAA，ACA，AAC，BBA，BAB，ABBの8通り
(2) 7段の石段があります。4回以内に登る方法は22通りあります。それらをすべて書きなさい。
書き方の例「AABC，AACBなど」
こたえ
①3段を2回使うとき
1+3+3 → ACC
3+1+3 → CAC
3+3+1 → CCA
②3段を1回使うとき
2+2+3 → BBC
2+3+2 → BCB
3+2+2 → CBB
1+1+2+3 → AABC
1+1+3+2 → AACB
1+2+1+3 → ABAC
1+3+1+2 → ACAB
1+2+3+1 → ABCA
1+3+2+1 → ACBA
2+1+1+3 → BAAC
3+1+1+2 → CAAB
2+1+3+1 → BACA
3+1+2+1 → CABA
2+3+1+1 → BCAA
3+2+1+1 → CBAA
③3段を使わないとき
1+2+2+2 → ABBB
2+1+2+2 → BABB
2+2+1+2 → BBAB
2+2+2+1 → BBBA
以上の22通り
(3) 10段の石段があります。4回で登る方法をすべて書き，全部で何通りあるかを答えなさい。
こたえ
①3段を3回使うとき
3＋3＋3＋1 → CCCA
3＋3＋1＋3 → CCAC
3＋1＋3＋3 → CACC
1＋3＋3＋3 → ACCC
②3段を2回使うとき
3＋3＋2＋2 → CCBB
3＋2＋3＋2 → CBCB
3＋2＋2＋3 → CBBC
2＋3＋3＋2 → BCCB
2＋3＋2＋3 → BCBC
2＋2＋3＋3 → BBCC
以上 10通り
４ 次の各問いに答えなさい。ただし，円周率は3.14とします。
10点×2=20(点)
(1) 1辺の長さが $4\times x$ cmの正方形の箱に，円形のホットケーキがぴったりと入っています。ホットケーキの周の長さを（あ）と（い）で比較しなさい。できるだけ具体的な計算をしないで説明しなさい。
こたえ
（あ）直径が4× $x$ の円なので，円周の長さは
$4\times x\times 3.14$ …①
（い）1つの円の直径の長さは
\[4\times x\times\dfrac12=\dfrac{\overset{\color{red}2}{\bcancel{4}}\times x}{\underset{\color{red}1}{\bcancel{2}}}=2\times x({\rm cm})\]
よって4つの円の円周の長さの合計は
\[\begin{align*} (2\times x\times3.14)\times4&=(2\times 4)\times x\times 3.14\\[5pt] &=8\times x\times3.14({\rm cm})\ \ \cdots\mbox{②} \end{align*}\]
①と②を比較すると，（い）は（あ）の2倍長い。
答えは （い）は（あ）の2倍長い
(2) 1辺の長さが $6\times x$ cmの正方形の箱に，円形のホットケーキがぴったりと入っています。ホットケーキの周の長さを（う）と（え）で比較しなさい。できるだけ具体的な計算をしないで説明しなさい。
こたえ
（あ）直径が6× $x$ の円なので，円周の長さは
$6\times x\times 3.14$ …①
（い）1つの円の直径の長さは
\[6\times x\times\dfrac13=\dfrac{\overset{\color{red}2}{\bcancel{6}}\times x}{\underset{\color{red}1}{\bcancel{3}}}=2\times x({\rm cm})\]
よって9つの円の円周の長さの合計は
\[\begin{align*} (2\times x\times3.14)\times9&=(2\times 9)\times x\times 3.14\\[5pt] &=18\times x\times3.14({\rm cm})\ \ \cdots\mbox{②} \end{align*}\]
①と②を比較すると，（い）は（あ）の 3倍長い。
答えは （い）は（あ）の3倍長い
