１　次の問いに答えなさい。

10点×4=40(点)

(1)　$54\times\dfrac7{18}=54\div$( あ )$\times$( い ) と表したとき，( あ )，( い )に数を入れ，$54\times\dfrac7{18}$ の計算の意味を，10～20字程度の言葉で説明しなさい。また，計算の結果も答えなさい。

こたえ

$54\times\dfrac7{18}=54\div(\ 18\ )\times ( 7)$

よって　（あ）は18，（い）は7

また，

\[54\times\dfrac7{18}=\overset{\color{red}3}{\bcancel{54}}\times\dfrac7{\underset{\color{red}1}{\bcancel{18}}}=3\times7=21\]

答えは　21

(2)　1620の10％と1％を求めることにより，200が1620の約何％か答えなさい。答えは整数で求めなさい。割り算を用いてはいけません。

こたえ

百分率の10％とは，0.1のこと。分数では $\dfrac1{10}$ のことです。つまり，10％とは，全体を10等分した1つ分です。10等分するということは，÷10をするということです。

1620の10%は162，20%が324です。

200は162より大きく，324より小さいので，10%より大きく，20%より小さいことがわかります。

次に，もう少し正確にしていきます。

200のうちの162が10%ですから，残りの200－162＝38が，1620の何％がを調べます。

1620の1%は16.2なので，2%が32.4，3%が48.6です。

すると，38は2%の32.4に近いことがわかります。

つまり，162が10%，38が約2%なので，200は10＋2＝12%程度であることがわかります。

答えは　約12%

(3)　（A)3150に対する700の割合と，（B)4700に対する900の割合はどちらが大きいですか。(A)か(B)で答えなさい。またその理由も答えなさい。

こたえ

3150の10%は315なので，20%は630です。

700は630より多いので，3150の20%より多いことがわかります。

一方，4700の10%は470のなので，20%は940です。

900は940より小さいので，4700の20%より小さいことがわかります。

以上により，（A）の方が大きいことが，割り算で正確に求めなくてもわかりました。

答えは　（A）

(4)　$\dfrac1{1\times2}+\dfrac1{2\times3}+\dfrac1{3\times4}+\cdots+\dfrac1{19\times20}$ を計算しなさい。

こたえ

\[\begin{align*} \dfrac1{1\times2}&=\dfrac11-\dfrac12\\[5pt] \dfrac1{2\times3}&=\dfrac12-\dfrac13\\[5pt] \dfrac1{3\times4}&=\dfrac13-\dfrac14\\[5pt] \dfrac1{4\times5}&=\dfrac14-\dfrac15\\[5pt] &\vdots\\[5pt] \dfrac1{19\times20}&=\dfrac1{19}-\dfrac1{20} \end{align*}\]

よって

\[\begin{align*} &\dfrac1{1\times2}+\dfrac1{2\times3}+\dfrac1{3\times4}+\cdots+\dfrac1{19\times20}\\[5pt] =\ &\dfrac11-\dfrac12+\dfrac12-\dfrac13+\dfrac13-\dfrac14+\cdots+\dfrac1{19}-\dfrac1{20} \end{align*}\]

この式をよく見てみると，1から $\dfrac12$ を引いた後に，また $\dfrac12$ を足しています。すると，また1に戻ります。

次に，その1から $\dfrac13$ を引いた後に，また $\dfrac13$ を足しています。すると，また1に戻ります。

これが以後繰り返されるのがわかります。結局は

\[1-\dfrac1{20}\]

だけが残ります。

答えは　$\boxed{\dfrac{19}{20}}$

２　白と黒のタイルを市松模様に並べた模様があり，各タイルには，図のような規則で番号が書いてあります。黒タイルの50番目に書かれている数字は何ですか。（例えば黒タイルの4番目に書かれている数字は6です。）

10点

こたえ

黒タイルを図のようなグループに分けます。


すると，黒タイルの数は，

1グループ目までに1個(=1×1)
2グループ目までに1＋3＝4個(=2×2)
3グループ目までに1＋3＋5＝9個(=3×3)
　$\vdots$
となっています。黒タイルの50番目が，どのグループに入るか考えましょう。

7×7＝49，8×8＝64ですから，7グループの一番最後が，黒タイルの49番目です。
よって黒タイルの50番目は8グループの1番目です。

8グループの1つ手前にある，白タイルの列の最後にタイルに書かれた番号が何かを考えます。

8番目の奇数は15なので，8グループの1つ手前の白い列までにある黒と白のタイルの合計は

\[1+2+3+4+\cdots+14=(1+14)\times 14\div2=105\]

よって，黒タイルの8グループの1つ手前にある，白タイルの列の一番最後は105です。8グループの1番目はこの次の数ですから，106です。

答えは　106

３　500円玉1枚，100円玉3枚，50円玉2枚，10円玉3枚，5円玉1枚，1円玉2枚の合計12枚があります。

　次の各問いに答えなさい。

10点×3=30(点)

(1) 　12枚を2つのグループに分けます。合計金額の違いが最も小さくなるようにわけたとき，その差はいくらですか。

こたえ

500円玉はたった1枚でとても大きな金額になっていることに注目します。

500円玉以外の，残りの硬貨の合計金額は，

100×3＋50×2＋10×3＋5＋1×2＝437(円)

よって，求める差は　500－437＝63(円)

答えは　63円

(2) 　50円以下の硬貨だけを使って支払える金額は何通りありますか。ただし0円も1通りとします。

こたえ

例えば，50円より小さな金額がいくらできるかを最初に調べ上げましょう。すると規則が見えてくるはずです。

0円，1円，2円，
5円，6円，7円，
10円，11円，12円，
15円，16円，17円，
20円，21円，22円，
25円，26円，27円，
30円，31円，32円，
35円，36円，37円

以上の3×8＝24(通り)通りあります。
このそれぞれに50円玉を1つ加えることで，次の金額が作れます。

50円，51円，52円，
55円，56円，57円，
60円，61円，62円，
　　$\vdots$

85円，86円，87円

以上3×8＝24(通り)あります。

もう1枚50円玉を加えると，100円から137円の24通りができます。

以上により　24×3＝72通り

答えは　72通り

(3) 　異なる組合せで同じ金額が作れるものを，すべて答えなさい。

こたえ

10円玉2枚と1円玉2枚で，同じ金額を2つ作ることができるのは，1円，10円，11円の3通りです。

次に，金額の大きい方を考えます。

100円2枚と，100円1枚，50円2枚
100円1枚と，50円2枚

このそれぞれで，最初に数えた1円，10円，11円の3通りの硬貨を追加することで，同じ金額が作れます。

答えは
　100円2枚　と　100円1枚，50円2枚
　100円2枚，1円1枚　と　100円1枚，50円2枚，1円1枚
　100円2枚，10円1枚　と　100円1枚，50円2枚，10円1枚
　100円2枚，10円1枚，1円1枚　と　100円1枚，50円2枚，10円1枚，1円1枚
　100円1枚　と　50円2枚
　100円1枚，1円1枚　と　50円2枚，1円1枚
　100円1枚，10円1枚　と　50円2枚，10円1枚
　100円1枚，10円1枚，1円1枚　と　50円2枚，10円1枚，1円1枚

以上の8通り。

４　次の会話文を読んで，あとの問いに答えなさい。

10点×2=20(点)

りかクラブのあきとみなが、先生も交えて、光の三原色の原理について話しています。

あき：「ねえみな，スマホやテレビの画面に使われている色って，赤・緑・青の3つの色だけなんだって。」

みな：「なんで3つだけで，あんなにたくさんの色を見せられるの？」

あき：「それはね，『RGB』っていうんだけど，光の3原色っていうんだ。RはRed(赤)，GはGreen(緑)，BはBlue(青)のことだよ。あの3色の光をいろんな強さで組み合わせるからだよ。でも今回はわかりやすくするために，光の強さは『0』か『1』だけで表すことにするよ。0は光らない，1は一番つよく光るって意味。」

みな：「数字で表せば、どんな色が作れるのか想像しやすいね。」

あき：「たとえば次の表を見てみて。」

いろのなまえ R（あか） G（みどり） B（あお）
くろ 0 0 0
あか 1 0 0
みどり 0 1 0
あお 0 0 1
きいろ 1 1 0
マゼンタ(紫) 1 0 1
シアン(水色) 0 1 1
しろ 1 1 1

みな：「ああ，けっこういろんな組み合わせで色が作れているのね。」

そこに先生がやってきました。

先生：「よく調べたね。このしくみは『加法混色』っていうんだ。光の強さを足し算みたいに混ぜて、合計が『1』を超えたら『1』にするんだよ。」

みな：「じゃあもし赤と青を混ぜると？」

あき：「赤が100で青が001。混ぜると赤1+0=1、緑0+0=0、青0+1=1で101。だから紫色になるよ。」

みな：「なるほど！数字は1と0だけで考えるから、わかりやすいね。」

(1)　赤色と緑色の光を混ぜると何色になりますか。表の数字を使って理由も書きなさい。

こたえ

赤色の100と，緑色の010を足すと
　R：1＋0で1
　G：0＋1で1
　B：0＋0で0
よって2つの光を足すと　１１０
これは表より黄色です。

答えは　黄色

(2)　黄色とシアンの光を混ぜると何色になりますか。表の数字を使って理由も書きなさい。

こたえ

黄色の110と，シアン011を足すと
　R：1＋0で1
　G：1＋1で2になりますが，１をこえたら1にします。
　B：0＋1で1
よって2つの光を足すと　１１１
これは表より白色です。

答えは　白色