～解き始める前に～

答案の提出方法，注意点はこちら をご覧らんください。

１　次の問いに答えなさい。

10点×4=40(点)

(1)　たて8cm，横15cmの長方形の紙から，たて5cmの同じ大きさのカードを8枚作るとき，横の長さは何cmですか。ただし，紙はすべて使うものとします。

　 ヒント

同じ大きさに切り分けるということは，面積も同じになるはずです。

(2)　(1)のとき，その切り取り方を図示しなさい。

　 ヒント

全部同じ向きでカードをとることはできません。工夫しましょう。

(3)　ある公園には2つの噴水A，Bがあり，噴水Aは10分水が出て，5分水が止まることを繰り返します。また噴水Bは，15分水が出て，10分水が止まることを繰り返いします。正午に2つの噴水が同時に水を出し始めました。次に2つの噴水が同時に水を出し始めるのは何時何分ですか。

　 ヒント

この手の問題は，出る時間と休止の時間をワンセットにして考えるのが基本です。

(4)　あるスポーツ大会は10分試合をして，4分の休憩をはさんで次の試合が行われるということが繰り返されます。9時ちょうどに試合が始まりました。7試合目が終了するのは何時何分ですか。

　 ヒント

(3)と似ていますが，最後の7試合目に注意が必要です。

２　白と黒のタイルを市松模様に並べた模様があり，各タイルには，図のような規則で番号が書いてあります。黒タイルの100番目に書かれている数字は何ですか。（例えば黒タイルの5番目に書かれている数字は21です。）

10点

　 ヒント

黒タイルを図のようなグループに分けます。

すると，黒タイルの数は，
1グループ目までに1個(=1×1)
2グループ目までに1＋3＝4個(=2×2)
3グループ目までに1＋3＋5＝9個(=3×3)
　$\vdots$
となっています。黒タイルの100番目が，どのグループに入るか考えましょう。
次に対角線上の数に注目します。これらはグループのちょうど真ん中の数になります。 \[1,\ 9,\ 25,\ \cdots\] この規則がわかれば，黒タイルの100番目があるグループの，ちょうど真ん中の数がわかります。その数を基準に考えてみましょう。

３　下のように、黒と白のマスが並んでいます。
これを「第1段」とします。
このマスは、ある規則に従って「次の段（第2段）」をつくります。

規則：
各マスの左右のマスの色を見て、そのマスの次の段の色を決める。

  • 左右が同じ色なら → 次の段では白。
  • 左右がちがう色なら → 次の段では黒。

（端のマスは「外側は白」として考える）

例：

　1段目　⬜⬛⬜⬛⬜
　2段目　⬛⬜⬜⬜⬛
　3段目　⬜⬛⬜⬛⬜

10点×3=30(点)

(1) 　1段目が⬜⬛⬜⬛⬜のとき，5段目を書きなさい。

　 ヒント

規則が理解できているかです。端のマスについての注意は
　(⬜)|⬜⬛⬜⬛⬜|(⬜)
として考えるということです。

(2) 　1段目が⬜⬛⬛⬜⬛⬜⬛⬜⬜のとき，3段目を書きなさい。

　 ヒント

(1)と同じです。ていねいに調べましょう。

(3) 　1段目が⬛⬛⬜⬜⬛のとき，50段目を書きなさい。

　 ヒント

50段目など，短時間では書けません。きっと規則があるはずです。

４　次のような，左右に長くのびたすごろくがあります。大小2つのさいころを同時にふり，出た目の差を $A$ とします。同じ目のときは0とします。大きい方の目が，大きいさいころのときは右向きに，小さいさいころのときは左向きに進むとして次の問いに答えなさい。

10点×2=20(点)

(1) 　同時に振ることを2回続けたあと，スタート地点にいるとき，目の出方は何通りですか。例えば，1回目：(大，小)＝(2，1)，2回目：(大，小)＝(1，2)と出ると，2回目の後にスタート地点です。これが答えのうちの1通りです。

　 ヒント

右へ行く回数と左へ行く回数が同じときが考えられます。そしてもう1つのパターンがあります。

(2) 　同時に振ることを3回続けた後，右に14のところにいました。目の出方は何通りですか。

　 ヒント

1回の操作で右に行けるのは最大でも5です。すると可能性はかなり制限されてくるはずです。

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