１ 次の問いに答えなさい。
10点×4=40(点)
(1) たて8cm，横15cmの長方形の紙から，たて5cmの同じ大きさのカードを8枚作るとき，横の長さは何cmですか。ただし，紙はすべて使うものとします。
こたえ
紙の面積は， 8×15＝120(cm²)
よって1枚当たりの面積は， 120÷8＝15(cm²)
たての長さが5cmなので，横の長さは 15÷5＝3(cm)
答えは 3cm
(2) (1)のとき，その切り取り方を図示しなさい。
こたえ
(3) ある公園には2つの噴水A，Bがあり，噴水Aは10分水が出て，5分水が止まることを繰り返します。また噴水Bは，15分水が出て，10分水が止まることを繰り返いします。正午に2つの噴水が同時に水を出し始めました。次に2つの噴水が同時に水を出し始めるのは何時何分ですか。
こたえ
出る時間と休止時間の合計は
噴水A：10＋5＝15(分)
噴水B：15＋10＝25(分)
25の倍数は，
\[25,\ 50,\ 75,\ 100,\ \cdots\]
この中で最も小さい15の倍数は75です。
よって求める時刻は正午から75分後，つまり，1時15分です。
答えは 1時15分
(4) あるスポーツ大会は10分試合をして，4分の休憩をはさんで次の試合が行われるということが繰り返されます。9時ちょうどに試合が始まりました。7試合目が終了するのは何時何分ですか。
こたえ
試合10分と休憩4分の合計は14分です。
これが6試合分繰り返された後，7試合目をやって終了です。
つまり，7試合目後には休憩の4分ありません。
14×6＋10＝84＋10＝94(分)
9時の94分後は，10時34分です。
答えは 10時34分
２ 白と黒のタイルを市松模様に並べた模様があり，各タイルには，図のような規則で番号が書いてあります。黒タイルの100番目に書かれている数字は何ですか。（例えば黒タイルの5番目に書かれている数字は21です。）
10点
こたえ
黒タイルを図のようなグループに分けます。
すると，黒タイルの数は，
1グループ目までに1個(=1×1)
2グループ目までに1＋3＝4個(=2×2)
3グループ目までに1＋3＋5＝9個(=3×3)
$\vdots$
となっています。10×10＝100 より，黒タイルの100番目は，10グループであり，しかもそのグループの一番最後の数です。
ところで，対角線上の数は，
\[1,\ 9,\ 25,\ \cdots\]
となっています。これらはそれぞれ
\[1\times1,\ 3\times3,\ 5\times5,\ \cdots\]
となっています。
1グループの1は，奇数の1番目，
2グループの3は，奇数の2番目，
3グループの5は，奇数の3番目，
$\vdots$
となっているので，10グループの真ん中の数は奇数の10番目，つまり，19×19＝361です。ここからマス目を右斜め上に進んでいくと，
361，363，365，367，369，371，373，375，377，379
つまり10グループの最後の数は379です。
答えは 379
３ 下のように、黒と白のマスが並んでいます。
これを「第1段」とします。
このマスは、ある規則に従って「次の段（第2段）」をつくります。
規則：
各マスの左右のマスの色を見て、そのマスの次の段の色を決める。
- 左右が同じ色なら → 次の段では白。
- 左右がちがう色なら → 次の段では黒。
（端のマスは「外側は白」として考える）
例：
1段目 ⬜⬛⬜⬛⬜
2段目 ⬛⬜⬜⬜⬛
3段目 ⬜⬛⬜⬛⬜
10点×3=30(点)
(1) 1段目が⬜⬛⬜⬛⬜のとき，5段目を書きなさい。
こたえ
1段目 ⬜⬛⬜⬛⬜
2段目 ⬛⬜⬜⬜⬛
3段目 ⬜⬛⬜⬛⬜
4段目 ⬛⬜⬜⬜⬛
5段目 ⬜⬛⬜⬛⬜
答えは ⬜⬛⬜⬛⬜
(2) 1段目が⬜⬛⬛⬜⬛⬜⬛⬜⬜のとき，3段目を書きなさい。
こたえ
1段目 ⬜⬛⬛⬜⬛⬜⬛⬜⬜
2段目 ⬛⬛⬛⬜⬜⬜⬜⬛⬜
3段目 ⬛⬜⬛⬛⬜⬜⬛⬜⬛
答えは ⬛⬜⬛⬛⬜⬜⬛⬜⬛
(3) 1段目が⬛⬛⬜⬜⬛のとき，50段目を書きなさい。
こたえ
1段目 ⬛⬛⬜⬜⬛
2段目 ⬛⬛⬛⬛⬜
3段目 ⬛⬜⬜⬛⬛
4段目 ⬜⬛⬛⬛⬛
5段目 ⬛⬛⬜⬜⬛
5段目で元に戻ってきました。
ということは，4段目までが1セットで，あとはこれの繰り返しです。
50÷4＝12余り2
答えは ⬛⬛⬛⬛⬜
４ 次のような，左右に長くのびたすごろくがあります。大小2つのさいころを同時にふり，出た目の差を $A$ とします。同じ目のときは0とします。大きい方の目が，大きいさいころのときは右向きに，小さいさいころのときは左向きに進むとして次の問いに答えなさい。
10点×2=20(点)
(1) 同時に振ることを2回続けたあと，スタート地点にいるとき，目の出方は何通りですか。例えば，1回目：(大，小)＝(2，1)，2回目：(大，小)＝(1，2)と出ると，2回目の後にスタート地点です。これが答えのうちの1通りです。
こたえ
①右へ行く回数と左へ行く回数が同じとき
[1]左右に1ずつ行くとき
(大，小)の順で
(1，2)→(2，1) と，この逆の(2，1)→(1，2)
(2，3)→(3，2) と，この逆の(3，2)→(2，3)
(3，4)→(4，3) と，この逆の(4，3)→(3，4)
(4，5)→(5，4) と，この逆の(5，4)→(4，5)
(5，6)→(6，5) と，この逆の(6，5)→(5，6)
[2]左右に2ずつ行くとき
(大，小)の順で
(1，3)→(3，1) と，この逆の(3，1)→(1，3)
(2，4)→(4，2) と，この逆の(4，2)→(2，4)
(3，5)→(5，3) と，この逆の(5，3)→(3，5)
(4，6)→(6，4) と，この逆の(6，4)→(4，6)
[3]左右に3ずつ進むとき
(大，小)の順で
(1，4)→(4，1) と，この逆の(4，1)→(1，4)
(2，5)→(5，2) と，この逆の(5，2)→(2，5)
(3，6)→(6，3) と，この逆の(6，3)→(3，6)
[4]左右に4ずつ進むとき
(大，小)の順で
(1，5)→(5，1) と，この逆の(5，1)→(1，5)
(2，6)→(6，2) と，この逆の(6，2)→(2，6)
[5]左右に5ずつ進むとき
(大，小)の順で
(1，6)→(6，1) と，この逆の(6，1)→(1，6)
[1]～[5]より，合計30通り
②2回とも，同じ目が出るとき，
1回目が6通り，2回目も6通り。
よって全部で 6×6＝36(通り)
以上により30＋36＝66(通り)
答えは 66通り
(2) 同時に振ることを3回続けた後，右に14のところにいました。目の出方は何通りですか。
こたえ
1回の操作で右に行けるのは最大でも5です。すると可能性はかなり制限されます。
1回でも左に行けば，3回で14に来るのは無理です。
よってすべて右で，3回の進み方は，「右へ5」が2回と，「右へ4」が1回です。
「右へ5」は (大，小)＝(6，1)の1通り。
「右へ4」は (大，小)＝(6，2)，(5，1)の2通り。
3回の5，5，4の移動は
5，5，4 5，4，5 4，5，5
の3通り。
このそれぞれにおいて，「右へ4」は2通りずつあるから，
3×2＝6(通り)
答えは 6通り
