１ 次の問いに答えなさい。
10点×4=40(点)
(1) 「$\frac23$ は $\frac12$ の何倍ですか」ということが知りたいとき，$\frac23\div\frac12$ という計算をします。そしてこれは $\frac23\times2$ と計算します。なぜ，「$\div\frac12$」が「×2」になるのかを，$\frac23\div1=\frac23$ （$\frac23$は1の$\frac23$ 倍)であることを使って説明しなさい。
こたえ
$\dfrac23$ が1の $\dfrac23$ 倍というは当たり前ですが，確認すると次のようになります。
\[1\times\frac23=\frac23\]
これが $\dfrac23\div1$ の意味です。
$\dfrac12$ は1の半分ですから，$\dfrac23$ に対する $\dfrac12$ の倍率は，1のときの2倍になります。よって
\[\dfrac23\div\dfrac12=\dfrac23\times2\]
が成り立ちます。
(2) $\frac23\div\frac23$ の計算の意味を(1)の問題文を参考にして説明しなさい。また答えも求めなさい。
こたえ
$\dfrac23\div\dfrac23$ は，$\dfrac23$ が $\dfrac23$ の何倍かを表します。
したがって1倍なので，答えは1です。
(3) ある公園には3つの噴水A，B，Cがあり，噴水Aは5分水が出て，1分水が止まることを繰り返します。また噴水Bは，10分水が出て，2分水が止まることを繰り返いします。噴水Cは，15分水が出て，5分水が止まることを繰り返いします。正午に3つの噴水が同時に水を出し始めました。次に3つの噴水が同時に水を出し始めるのは何時何分ですか。
こたえ
出る時間と休止時間の合計は
A：5＋1＝6(分)
B：10＋2＝12(分)
C：15＋5＝20(分)
最も時間の長いCから考えます。
Cの倍数は 20，40，60，80，100，120，…
この中で，Bの12の倍数を考えると，60，120，…です。
最後にAの6の倍数を考えると，60は6の倍数でもあります。
よって3つが同時に水を出し始めるのは，60分後です。
答えは 13時
ヒント
この手の問題は，出る時間と休止の時間をワンセットにして考えるのが基本です。
この手の問題は，出る時間と休止の時間をワンセットにして考えるのが基本です。
(4) 500円，100円，10円の硬貨がそれぞれたくさんあります。これらの硬貨を使って1200円を払う方法は何通りありますか。
こたえ
500円玉を何枚使うかで場合分けします。残りは100円と10円ですから，100円を何枚使うかを決めれば，10円玉の個数は自動的に決まります。
[1] 0枚のとき 100円玉0枚～12枚で13通り
[2] 1枚のとき 100円玉0枚～7枚で8通り
[3] 2枚のとき 100円玉0枚～2枚で3通り
以上から， 13＋8＋3＝24(通り)
答えは 24通り
２ 1から9までのうち，異なる3つの数を使って，合計が15になる組をすべて挙げなさい。
10点
こたえ
(小，中，大)の順で書いていきます。小の数を基準にします。
(1，5，9)，(1，6，8)
(2，4，9)，(2，5，8)，(2，6，7)
(3，4，8)，(3，5，7)
(4，5，6)
以上8通り
答えは 8通り
３ 正の整数のうち，自分自身を除いたすべての約数の和が，自分自身と等しくなる数を「完全数」といいます。
たとえば，6 の約数は 1, 2, 3, 6 です。自分自身の 6 を除いた約数 1, 2, 3 の和は 1+2+3 で 6 になります。したがって，6 は完全数です。
10点×3=30(点)
(1) 28 が完全数であることを確かめなさい。途中の計算も書きなさい。
こたえ
28の約数は 1，2，4，7，14，28
このうち，28以外の約数を足すと 1＋2＋4＋7＋14＝28
したがって，28は完全数です。
(2) ある正の整数 $n$ について，$n$ の約数のうち $n$ を除いたものの和が $n$ より小さいとき，その数を「不足数」，$n$より大きいとき「過剰数」と呼びます。
次の数のうち，不足数・完全数・過剰数のいずれに当たるかを答えなさい。
ア 8 イ 10 ウ 12
こたえ
ア 8の約数：1，2，4，8
8以外の約数を足すと 1＋2＋4＝7
これは8より小さいので不足数
イ 10の約数：1，2，5，10
10以外の約数を足すと 1＋2＋5＝8
これは10より小さいので不足数
ウ 12の約数：1，2，3，4，6，12
12以外の約数を足すと 1＋2＋3＋4＋6＝16
これは12より大きいので過剰数
(3) 6 と 28 はどちらも完全数です。
では，28 の次に小さい完全数を見つけましょう。
次の数の約数を調べて，完全数になるものを見つけてください。
ア 36 イ 48 ウ 496
こたえ
ア 36の約数：1，2，3，4，6，9，12，18，36
36以外の約数を足すと 1＋2＋3＋4＋6＋9＋12＋18＝55
したがって，36は完全数ではありません。
イ 48の約数：1，2，3，4，6，8，12，16，24，48
48以外の約数を足すと 1＋2＋3＋4＋6＋8＋12＋16＋24＝76
したがって，36は完全数ではありません。
ウ 496の約数：1，2，4，8，16，31，62，124，248，496
496以外の約数を足すと
1＋2＋3＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248 = 496
したがって，496は完全数です。
４ 図のように，白，赤，黄の色がつけられた，1辺の長さが1cmの小立方体27個を使って，大立方体を作ります。
出来上がった大立方体からいくつかの小立方体を取り除いて，次のような立体を作りました。
次の各問いに答えなさい。
10点×2=20(点)
(1) 白，赤，黄の小立方体はそれぞれ何個ずつありますか。
こたえ
1段ずつ考えると次のようになります：
答えは 白：5，赤：6，黄：5
(2) 立体の表面の部分は，白，赤，黄それぞれ何cm²になりますか。ただし，下から見た部分も含みます。
こたえ
上下，左右，前後の6つの方向からどう見えるか調べたうえで，その6方向からでは見えない部分を個別に足しましょう。
この6方向では
白：14，赤：16，黄：16
上の6方向から見えていない部分
白：1，赤：2，黄：1
答えは 白：15cm²，赤：18cm²，黄：17cm²
