１ 次の問いに答えなさい。
10点×3=30(点)
(1) 24分で7km進むとき，時速何kmですか。
こたえ
\[7\div24\times60=\dfrac{7\times\overset{\color{red}5}{\bcancel{60}}}{\underset{\color{red}2}{\bcancel{24}}}=17.5\]
答えは 時速17.5km
(2) 時計の長針と短針は，何分おきに重なりますか。
こたえ
1分間に，長針は6°，短針は0.5°動きます。
よって，長針と短針は1分当たり6-0.5=5.5°の差ができます。
一度重なってからもう一度重なるとき，長針が短針より360°先に進むことになるので，
\[360\div5.5=\dfrac{360}{5.5}=\dfrac{720}{11}=65\dfrac{5}{11}\]
答えは $65\dfrac5{11}$ 分後
(3) ある4人の生徒、あや・けん・さな・だいき のうち、正直者は1人だけで、残り3人は必ずウソをつきます。
4人が次のように発言しました。
あや：「正直者は けん です。」
けん：「正直者は だいき です。」
さな：「あや はウソをついています。」
だいき：「けん は本当のことを言っています。」
では、正直者はだれでしょう。
こたえ
あやが正直者だとすると，けんの発言が本当であるので，だいきも正直者です。しかしこれでは正直者があやとだいきの2人になって，正直者が1人であるということに反します。
同じように，けんが正直者だとすると，だいきも正直者になるので，条件に反します。
さなが正直者だとすると，あとの3人はみんなウソつきです。これは条件に適しています。
だいきが正直者だとすると，けんも正直者になり、条件に反します。
こたえは さな
２ 1〜6 の数字カードを 1 枚ずつ，計 6 枚使います。これらを横一列に並べ，左から順に読む「6けたの数字」を作ります。ただし，次のルールにしたがってカードを並べるものとします。
【並べ方のルール】
- ① 1 と 2 は となり合って置く。
- ② 3 は 5 よりも左側に置かなければならない。
- ③ 4 は 6 より右側に置かなければならない。
上のルールをすべて満たす並べ方のうち，左から 3 枚目に「1」が置かれているものは何通りありますか。
10点
こたえ
1と2の置き方は次の2通りが考えられます。
○２１○○○ または ○○１２○○
[1] ○２１○○○ のとき
3と5の置き方は
３２１５○○，３２１○５○，３２１○○５
○２１３５○，○２１３○５，○２１○３５
の6通りです。このどれであっても，4と6の置き方はただ1通りに決まりますから，結局この場合の置き方は6通りです。
[2] ○○１２○○のとき
[1]の場合と同じように6通りあります。
よって，6+6=12(通り)
答えは 12通り
３ ある町の地下鉄には，A,B,C,D,Eの5つの駅があります。所要時間は次のようになっています。
- AB間：2分
- BC間：3分
- CD間：2分
- DE間：3分
列車は各駅に1分間停車します。また，A駅またはE駅に着いたら，1分間停車したのち，折り返して運転を続けます。ある日，列車PがA駅からE駅に向けて，列車QがE駅からA駅に向けて，8時30分に同時に出発しました。次の各問いに答えなさい。
10点×3＝30点
(1) 最初に同じ時刻に同じ駅に到着するのは何時何分ですか。
こたえ
| B | C | D | E | D | C | B | A | B | |
| P | 2 | 6 | 9 | 13 | 17 | 20 | 24 | 27 | 30 |
| Q | 3 | 6 | 10 | 13 | 16 | 20 | 23 | 27 | 31 |
| D | C | B | A | B | C | D | E | D |
答えは 8時36分
(2) 2回目に同じ時刻・同じ駅に到着するのは何時何分ですか。
こたえ
(1)の表より，C駅に，8時30分の20分後に同時到着します。
答えは 8時50分
(3) 5回目に同じ時刻・同じ駅に到着するのは何時何分ですか。
こたえ
(1)の表から，同じ時刻・同じ駅に到着するのはC駅しかありません。
最初に6分後であることを除き，あとは14分ごとにC駅に同時刻に到着します。
6+14+14+14+14
=6+14×4=6+56
=62(分後)
答えは 9時32分
４ 1〜7の数字が1枚ずつ書かれた7枚のカードがあります。この中から3枚を、Aさん・Bさん・Cさんに1枚ずつ配りました。
- それぞれの人は自分以外の2人のカードの数字は見えるが，自分のカードは見えない。
- 3人のカードの合計は10以下である。
ということだけを知っています。また、カードの数字はすべて異なります。
自分のカードがわかるかどうかについて，次のように発言しています。
A「うーん……自分のカードの数字はまだわかりません。」
B「私は，自分のカードがわかりました！」
C「私も自分のカードがわかりました。」
次の各問いに答えなさい。
10点×3=30(点)
(1) Aさんが「わからない」と言ったとき，もしBさんが5ならば，Cさんのカードの数字として考えられるものをすべて挙げなさい。
こたえ
逆にAさんがわかったというのは，カードの合計が10以下であるという条件から，BさんとCさんの合計が9の場合しかありません。このときCさんは4です。よってCさんのカードの数字は4より小さいとき，Aさんは自分のカードの数字がわかりません。
答えは 1，2，3
(2) Bさんが「わかった」と言ったとき，AさんとCさんの合計は8でした。3人の数字について，考えられるものをすべて挙げなさい。
こたえ
AさんとCさんの合計が8ということは，3人の合計が10以下であるという条件から，Bさんは1か2です。
[1] Bさんが自分が1であるとわかるとき
AさんとCさんのいずれかが2のカードを持っているときです。
（A，B，C）＝（2，1，6），（6，1，2）
[2] Bさんが自分が2であるとわかるとき
AさんとCさんのいずれかが1のカードを持っているときです。
（A，B，C）＝（1，2，7），（7，2，1）
答えは (A,B,C)=(2,1,6),(6,1,2),(1,2,7),(7,2,1)
(3) Cさんが「わかった」と言ったとき，Bさんのカードの数字が2だったとすれば、Cさんのカードは何ですか。
こたえ
(2)の結果から，[2]のケースの2通りが考えられます。Aさんが最初に自分の数字がわからないといっていることに注意すると，(A,B,C)=(7,2,1)に決まります。
答えは 1
