１ 次の問いに答えなさい。
10点×3=30(点)
(1) 時計の短針は，1時間に長針が5分動く分だけ回転します。では1分間には，長針の何分分だけ回転しますか？
こたえ
時計の短針は1時間，つまり60分で長針が5分動く分だけ回転するので，1分間では
$5\div60=\dfrac5{60}=\dfrac1{12}$ (分)
答えは $\dfrac1{12}$
(2) 13を，2から9の数で割るとき，割り切れる数は2つしかありません。どれとどれですか。
こたえ
13÷□＝$\dfrac{13}{□}$ と表せますが，これが割り切れるのは，□が2と5のときだけです。
一般にも，整数どうしの割り算を分数で表して，約分しきった分数にしたとき，分母をかけ算で表して2と5以外が出てきたら，その割り算は割り切れません。
答えは 2と5
(3) ある数を6で割ることは，$\dfrac16$ をかけることと同じです。6が2×3であることに注意すると，2と3の両方で割ることと同じです。39が6で割り切れることを，(2)の結果を利用して説明しなさい。ただし，実際に割り算をしてはいけません。
こたえ
\[39\div6=\dfrac{39}6=\dfrac{13\times\overset{\color{red}1}{\bcancel{3}}}{2\times\underset{\color{red}1}{\bcancel{3}}}\]
よって分母は2だけになりましたので，この割り算は割り切れます。実際，6.5です。
答えは 割り切れる
２ 5178の15％と4721の20％はどちらが大きいですか。5％が10％の半分であることを利用して，概数（がいすう）で判断しなさい。
10点
こたえ
まず簡単な4721の20％は，大体4700×0.2=940程度です。
次に，5178の10％は大体520くらい。5%はその半分で260くらい。よって15％は520+260ですが、これは900より小さな数です。
答えは 4700の20％は940。これは4721の20％より小さい。
一方，5200の10％は520，5％は260。よって15％は約780。
これは5178の15％より大きい。
よって4721の20％の方が大きい。
３ ある町の地下鉄には，A,B,C,D,E,Fの6つの駅があります。所要時間は次のようになっています。
- AB間，BC間，CD間，DA間：2分
- BE間，EF間，FD間：3分
列車は各駅に1分間停車します。列車Pは，A→B→C→D→A→B→…と回り続けます。列車Qは，A→D→F→E→B→A→D→F→…と回り続けます。ある日，列車PとQが，8時30分に同時にA駅を出発しました。次の各問いに答えなさい。
10点×4＝40点
(1) 最初に列車PとQが，同じ時刻に同じ駅に到着するのは，何時何分にどこの駅ですか。
こたえ
| 駅 | B | C | D | A | B | C | D | A |
| P | 2 | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | 20 | 23 |
| Q | 2 | 6 | 10 | 14 | 17 | 20 | 23 | 27 |
| 駅 | D | F | E | B | A | D | F | E |
答えは 8時44分にB駅
(2) 2回目に列車PとQが，同じ時刻に同じ駅に到着するのは，何時何分にどこの駅ですか。
こたえ
| 駅 | B | C | D | A | B | C | D | A |
| P | 2 | 5 | 8 | 11 | 14 | 17 | 20 | 23 |
| Q | 2 | 6 | 10 | 14 | 17 | 20 | 24 | 28 |
| 駅 | D | F | E | B | A | D | F | E |
答えは 8時50分にD駅
(3) 3回目に列車PとQが，同じ時刻に同じ駅に到着するのは，何時何分にどこの駅ですか。
こたえ
(2)の表の続きは次のようになります。
| 駅 | B | C | D | A | B | C | D | A | B |
| P | 26 | 29 | 32 | 35 | 38 | 41 | 44 | 47 | 50 |
| Q | 32 | 35 | 38 | 42 | 46 | 50 | 53 | 56 | 60 |
| 駅 | B | A | D | F | E | B | A | D | F |
答えは 9時5分にA駅
(4) 7回目に列車PとQが，同じ時刻に同じ駅に到着するのは，何時何分にどこの駅ですか。
こたえ
(1)～(3)で，2回目にB駅に着いた状況で，この後は繰り返しになります。
最初にB駅に同時到着したあと，その6分後にD駅で，さらにその15分後A駅で，そしてその15分後にB駅で同時到着しています。
また，1回目にB駅に同時到着が8時30分の14分後でした。
よって，14+6+15＋15+6+15+15=86(分後)
答えは 9時56分
４ 1〜5の数字が1枚ずつ書かれた5枚のカードがあります。この中から3枚を，Aさん・Bさん・Cさんに1枚ずつ配りました。
- それぞれの人は自分以外の2人のカードの数字は見えるが，自分のカードは見えない。
- 3人のカードの合計は8以下である。
ということだけを知っています。また，カードの数字はすべて異なります。
自分のカードがわかるかどうかについて，次のように発言しています。
A「私は，自分のカードがわかりました！」
B「自分が2か3であることはわかりました。」
C「Aさん，Bさんの発言を聞いて，私は自分のカードがわかりました。」
次の各問いに答えなさい。
10点×2=20(点)
(1) Aさんは，自分のカードの数字が1であることがわかりました。Aさんが発言するときに，BさんとCさんのカードの数字として考えられるものをすべて挙げなさい。
こたえ
3人の合計が8以下という条件から，相手の2人のカードの数字に応じた自分の数字の可能性を考えます。
| 相手のカード | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | 2,3 | 2,4 | 2,5 | 3,4 |
| 自分のカード | 3,4 | 2,4 | 2,3 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 |
答えは (B,C)=(2,3)(3,2)(2,4)(4,2)
(2,5)(5,2)(3,4)(4,3)
(2) Cさんのカードの数字は何ですか。理由も答えなさい。
こたえ
Bさんの発言から，AさんとCさんのカードは1と4です。Aさんが1なので，Cさんは自分が4であるとわかります。
答えは ４
