１ ある小さな町の地下鉄には，A,B,C,D,E,Fの6つの駅があります。地下鉄は1両編成で，所要時間は次のようになっています。
この地下鉄は，毎朝A駅を始発駅としてB→C→D→E→F→A→ … と回ります。各駅には1分間停車します。どの駅にも6分間隔で列車が到着するようにするには，車両は何両必要ですか。
10点
こたえ
A駅を出発した地下鉄が1周してA駅に戻るまでの，走行時間は
2+3+3+5+2+3=18(分)
駅に1分ずつ停車しているから，これが6分
あわせて 18+6=24(分)
6分ごとに地下鉄が到着するために，必要な車両の本数は
24÷6=4(両)
答えは 4両
２ 次の会話文を読んで，あとの問いに答えなさい。
春休みに、アキラとミホは科学館の特別展示に行くことにしました。科学館の特別展示は午前10時からです。2人が午前10時前に到着したとき，展示会場の入り口では，入場を待つ列ができており，職員が列の進み方を説明していました。
ミホ「今の列はどれくらい待つのかな？」
アキラ「さっき職員さんが、今は80人くらい並んでいるって言ってたよ。」
展示会場に入る前に，係員がチケットを確認する改札があります。この改札では1人当たり6秒で通すことができます。つまり，改札を待つ人が十分多い場合，6秒ごとに1人の改札ができるとします。
10点×4＝40点
(1) 今ちょうど82人が並んでいるとします。アキラたちが，この列の最後尾に並ぶとすると，アキラたちの改札は何時何分何秒から始まりますか。
こたえ
82人の改札を終えるのにかかる時間は
6×82=492(秒)=8分12秒
この後すぐにアキラたちの改札が始まります。
答えは 10時8分12秒
(2) 改札口を2つに増やすと，改札してもらえるまでの待ち時間は，(1)のときと比べてどれくらい短くなりますか。
こたえ
改札口が2つになると，82人が改札を終えるのにかかる時間は半分になります。
答えは 時間は半分になる
(3) いったん行列がなくなりました。このあとの10分間で，100人の人が特別展示に訪れましたが，再び改札口に行列ができていました。なぜですか。次の表現をすべて使って説明しなさい。ただし改札口は1つとします。
- 「ちょうど6秒おき」ではなく
- ときどき3人まとめて来る
- しばらく誰も来ない
- その後，5人いきなり来る
こたえ
【解答例】
「ちょうど6秒おき」ではなく，時々3人まとめて来ることがあったり，しばらく誰も来ないこともある。またその後，5人いきなり来るなど，いろいろな状況が起こる。1つの改札口では同時に多くの人を改札できないし，また改札を利用する人がいない時間帯もできるため，行列ができたと考えられる。
(4) 行列ができていないときに，4人組のグループが来ました。このグループの最後に改札してもらう人を考えます。改札口が1つの場合と2つの場合では，改札してもらえるまでの待ち時間が異なります。どのように異なるか説明しなさい。
こたえ
改札口が1つのとき，前の3人が改札を終えるのに 6×3=18秒かかるから，18秒後に4人目の改札が始まる。
改札口が2つのとき，前の2人が改札を終えるのに6秒かかり，その次の番で4人目も改札してもらえるので，6行後に改札が始まる。
開始時間だけを見ると，改札口が2つのときは1つのときと比べて3倍早い。
３ 1〜7の数字が1つずつ書かれた7枚のカードがあります。この中から4枚を，Aさん・Bさん・Cさん・Dさんに1枚ずつ配りました。ルールは次の通りです。
- それぞれの人は自分以外の3人のカードの数字は見えるが，自分のカードは見えない。
- 4人のカードの数の合計が13以下である。
次の問いに答えなさい
10点×2=20(点)
(1) 4人が持っているカードの組み合わせを，小さい順に並べたものとして，例えば(1,2,3,4)(合計10)があります。このような組み合わせをすべて書きなさい。
こたえ
カードの合計が13以下なので，小さい順から並べて書くと，次の7通りがあります。
（１，２，３，４）
（１，２，３，５）
（１，２，３，６）
（１，２，３，７）
（１，２，４，５）
（１，２，４，６）
（１．３．４．５）
(2) 自分以外の3人の持っているカードの中に1があるとします。(1)の結果を参考にして，残り2人のカードとして考えられるものを，次の例にならってすべて書きなさい。またそのとき自分のカードの数として考えられるものをすべて書きなさい。
こたえ
| 自分以外の3人のカードの数(小さい順) | 自分のカードの数 |
| 1, 2, 3 | 4, 5, 6, 7 |
| 1, 2, 4 | 3, 5, 6 |
| 1, 2, 5 | 3, 4 |
| 1, 2, 6 | 3, 4 |
| 1, 2, 7 | 3 |
| 1, 3, 4 | 2, 5 |
| 1, 3, 5 | 2, 4 |
| 1, 3, 6 | 2 |
| 1, 3, 7 | 2 |
| 1, 4, 5 | 2, 3 |
| 1, 4, 6 | 2 |
(3) 配られたカードを見て，Aさんから順に次のように発言しました。
A「自分のカードの数は1です。」
B「自分が3か4であることがわかりました。」
このとき，Bさんから見て，CさんとDさんのカードの数の組は何でしたか。考えられる組をすべて書きなさい。答えは（○，□）のように書きなさい。ただし，○＜□とします。
こたえ
(2)の表からわかります。
答えは （２，５）または（２，６）
(4) Bさんに続いてCさんが「Aさん，Bさんの発言を聞いて，私は自分のカードがわかりました。」と答えました。Cさんのカードの数は何ですか。
こたえ
Bさんの発言から、BさんはA，C，Dのカードの組を，小さい順から並べて（１，２，５）と見ているか，（１，２，６）と見ているかのいずれかです。どちらの場合も2が含まれていることに注目します。つまり，Dさんが5か6ならば，Cさんは自分が2であることがわかります。
それでは，もしDさんが2だとしたらどうでしょうか？Bさんは3か4ですから，
(A, B, D)=(1, 3, 2) または (A, B, D)=(1, 4 , 2)
のいずれかです。(2)の表を見ればわかる通り，このときCさんは自分の数字を知ることができません。
答えは 2
(5) Cさんに続いてDさんは「私も自分のカードの数字がわかりません」といいました。どうしてか説明しなさい。
こたえ
再び(2)のBさんの発言から，Dさんは自分が5か6であることがわかっています。Bさんが3か4でしたから次の2通りが考えられます。
[1] (A, B, C)=(1, 3, 2) のとき
(2)の表からDは自分が5か6であることを決められません。
[2] (A, B, C)=(1, 4, 2) のとき
(2)の表からDは自分が5か6であることを決められません。
よって，Dさんは自分が5か6であることはわかっていても，そのどちらかに決めることはできません。
