１ 次の会話文を読み，あとの問いに答えなさい。
10点×5=50(点)
ある町の「さくら団地」では、冬のあいだ、住民が交代で共同玄関前の雪かきをする当番制をとっています。
この団地の6年生の子どもたち、あおいさん、みずきさん、ひかるさん、りんさんの4人は、雪かき当番のローテーションのしくみについて話し合いをしています。
さくら団地では、12月から3月までの間、毎朝玄関前の雪かきをすることになっています。大人だけでは大変なので、小学生も手伝うことになり、4人の子どもたちが曜日ごとに交代で当番に入るローテーションを考えることになりました。
4人は、次のようなルールを決めました。
ルール
- ルール1：1週間は月曜日から日曜日までの7日とし、1週間ごとに同じパターンをくり返す。
- ルール2：4人のうち、1日あたり必ず2人が当番に入る。
- ルール3：1人が同じ週に当番に入る回数は、できるだけ均等にする。
- ルール4：同じペアが週の中で2回以上いっしょにならないようにする（なるべく多くの人と組み合わせを変える）。
4人はまず、月曜日から日曜日までの当番案として、次の表1のような「案1」を考えました。
| 曜日 | 当番になる人の組 |
|---|---|
| 月曜日 | あおい・みずき |
| 火曜日 | みずき・ひかる |
| 水曜日 | ひかる・りん |
| 木曜日 | りん・あおい |
| 金曜日 | あおい・ひかる |
| 土曜日 | みずき・りん |
| 日曜日 | あおい・みずき |
4人は、この案1がルールをきちんと満たしているかどうか、話し合うことにしました。
あおいさん：「とりあえず、1週間で全部の日に2人ずつ入るようにしてみたよ。」
みずきさん：「うん。1人あたり何回ずつ当番になっているか数えてみよう。①」
ひかるさん：「あと、同じペアが何回出てくるかもチェックしないとね。」
りんさん：「日曜日が月曜日と同じペアになってしまっているね。」
4人は、案1がルールを満たしているか、表1をもとに確認しました。②
その後、4人は団地の管理人さんから、新しい話を聞きました。
管理人さん：「去年の冬は、大雪の日とほとんど雪が降らない日が交互に来たんだよ。今年も天気予報を見ていると、似たようなパターンになりそうなんだ。大雪の日は2人では大変だから3人で雪かきをして、ほとんど雪が降らない日は1人だけでもよい、という『新ルール』に変更してはどうかな。」
4人は、管理人さんの提案をもとに、次のような「新ルール」を考えました。
新ルール
- ルール1：当番の人数は、「大雪」が3人、「ふつうの雪」が2人、「ほとんど雪が降らない」は1人にする。
- ルール2：当番に入る回数は、できるだけ均等にする。
- ルール3：「大雪」に入る回数は、1か月で見たときにできるだけ均等にする。同じように、「ふつうの雪」に入る回数や「ほとんど雪が降らない」に入る回数も、1か月で見たときにできるだけ均等にする。
4人は、月曜日から日曜日までの天気の予報を次のように仮定して、当番表を作り直してみることにしました。
| 曜日 | 予想される雪のようす |
|---|---|
| 月曜日 | 大雪 |
| 火曜日 | ほとんど雪が降らない |
| 水曜日 | ふつうの雪 |
| 木曜日 | ふつうの雪 |
| 金曜日 | 大雪 |
| 土曜日 | ほとんど雪が降らない |
| 日曜日 | ふつうの雪 |
みずきさん：「月曜日と金曜日が大雪だから、この2日は誰かを1人ずつ増やして3人にしたいね。」
ひかるさん：「4人のうち、だれがこの3人になるかは（ ア ）通りあるわね。」
りんさん：「もし表2にある月曜日が12月1日として、『大雪→ほとんど雪が降らない→ふつうの雪→ふつうの雪』がずっとくり返されるとすると、12月には大雪の日が（ イ ）日あるね。」
あおいさん：「そうね。すると12月では、大雪の日に当番になる人が、のべ（ ウ ）人だから、できるだけ平等に当番を決めるとすれば、一人当たり（ エ ）回になるね。」
みずきさん：「ほとんど雪が降らない日については、表2にある月曜日が12月1日だとすると、12月には（ オ ）回あるから、これもできるだけ平等に決めるとすると、一人当たり（ カ ）回になるね。」
ひかるさん：「ふつうの雪の日も平等にできるのかな。これまでと同じように、表2にある月曜日が12月1日だとすると、ふつうの雪の日は、12月に（ キ ）回あるから、（ ク ）回の人が（ ケ ）人と、（ コ ）回の人が（ サ ）人になるね。」
りんさん：「これで分担表を作りましょう！」
(1) ①について、表1をもとに、案1では4人が1週間に何回ずつ当番に入ることになるか、それぞれ回数を求めなさい。また、最も多く当番に入る人と最も少なく当番に入る人がいる場合は、その差が何回かも答えなさい。
(2) ②について、案1では、月曜日と日曜日に同じペアが登場しているので、ルール4の「同じペアが週の中で2回以上いっしょにならないようにする」という条件を満たしていません。4つのルールをすべてを満たすように変更することはできますか。できるとすれば、どのペアをどう変更するか答えなさい。できない場合は理由を説明しなさい。
(3) （ ア ）～（ エ ）に入る数を答えなさい。
(4) （ オ ）～（ カ ）に入る数を答えなさい。
(5) （ キ ）～（ サ ）に入る数を答えなさい。
２ 次の会話文と資料を読み，あとの問いに答えなさい。
10点×5=50(点)
理科クラブの3人、かなさん、なおさん、そらさんは、学校の図書室に置かれている自動清掃ロボットの動き方について調べています。
このロボットは、通路を移動しながら床を掃除します。
清掃ロボットは、マス目が書かれた通路の上を1マスずつ動きます。
ロボットには、次のような基本設定があります。
- 設定1：ロボットは、隣り合うマスに1マスずつ動くことができる。ただし、ななめ方向には移動できない。
- 設定2：ロボットは、すべてのマスを清掃し終わったら、スタートしたマスに戻ってくる。すべてのマスを清掃することができないときは、できるだけ通過しないマスを少なくするようなルートで動く。
- 設定3：スタートのマス以外は、一度通ったマスにはもう一度入らない（同じマスを2回通らない）。
ロボットを、図1の左下のマス（Aのマス）の位置において、スタートさせることにしました。
なおさん：「ロボットを、Aのマスからスタートさせてみましょう。」
かなさん：「同じマスを2回通らないとすると、一筆書きみたいなルートを探すことになるね。」
そらさん：「全部のマスを清掃することができるのかな。この本だなの配置だと、通らないマスもありそうだね。」
(1) 図1のAのマスにロボットを置いてスタートさせます。ロボットの動き方を1つ書きなさい。ただし、ロボットの動きはAからスタートしてAに戻る線で表しなさい。
(2) (1)のとき、Aから動き出したあと、Aに戻るまでに、ロボットは何回向きを変えましたか。
次に、図書室の棚の位置が少し変わりました。
(3) 図2の通路になっているマスを使ったとき、AからスタートさせてAに戻るようなロボットの動き方を1つ書きなさい。
本だなを1マス分減らして2マス分にしました。
(4) 次の図のように、本だなを連続するたて2マス分にします。Aからスタートして、すべてのマスを通ってAに戻ることができる本だなの置き方は、何通りありますか。
(5) 図3と同じ位置に、本だなを固定します。そしてロボットの基本設定の設定3を変更して、同じマスを2回以上通ることができるようにします。すべてのマスを2回以上通り、かつ3回以上通るマスが最も少なくなるようなロボットの動き方を考えるとき、3回以上通るマスはいくつありますか。
