１ 次の問いに答えなさい。
10点×4=40(点)
(1) $5\dfrac37\times 7$
こたえ
5を $5+\dfrac37$ と表して，分配のきまりを使いましょう。
\[\begin{align*} 5\dfrac37\times 7&=\left(5+\dfrac37\right)\times7\\[5pt] &=5\times7+\dfrac37\times7\\[5pt] &=35+\dfrac{3\times7}7\\[5pt] &=35+3\\[5pt] &=38 \end{align*}\]
答えは ３８
(2) $\left(\dfrac{4}7-\dfrac2{21}\right)\times21$
こたえ
カッコ内の分数の引き算を先にやるのではなく，分配のきまりを使って計算しましょう。このとき，約分を行いながら計算を進めるのがポイントです。
\[\begin{align*} \left(\dfrac{4}7-\dfrac2{21}\right)\times21&=\dfrac47\times21-\dfrac2{21}\times21\\[5pt] &=\dfrac{4\times21}7-\dfrac{2\times21}{21}\\[5pt] &=4\times3-2\\[5pt] &=12-2\\[5pt] &=10 \end{align*}\]
答えは １０
(3) $\left(\dfrac5{24}-\dfrac7{36}\right)\times12$
こたえ
(2)と同じようにして，分配のきまりを使って計算しましょう。そして，約分をやりながら計算を進めることも(2)と同じです。
\[\begin{align*} \left(\dfrac5{24}-\dfrac7{36}\right)\times12&=\dfrac5{24}\times12-\dfrac7{36}\times12\\[5pt] &=\dfrac{5\times12}{24}-\dfrac{7\times12}{36}\\[5pt] &=\dfrac52-\dfrac73\\[5pt] &=\dfrac{15}6-\dfrac{14}6\\[5pt] &=\dfrac16 \end{align*}\]
答えは $\underline{\dfrac16}$
(4) つるが $x$ 羽，かめが $y$ ひきいます。足の本数の合計を，$x$ と $y$ を使って表しなさい。
こたえ
つるの足は2本ですからつるの足の合計は $2\times x$ (本)
かめの足は4本ですからかめの足の合計は $4\times y$ (本)
よって足の本数の合計は $2\times x+4\times y$ (本)
答えは $(2\times x+4\times y)$ 本
２ 例えば $\dfrac13$ の半分は $\dfrac16$ ですから
\[\dfrac13\div 2=\dfrac16\]
となります。
これは
と表せることを意味します。□に入る数を答えなさい。さらに
\[\dfrac6{23}\div 3\]
を計算しなさい。
10点
こたえ
分数を整数で割ることを考えます。円はケーキをイメージしましょう。ケーキ全体の $\dfrac 13$ を半分にすると，図からわかるように全体の $\dfrac16$ が2個できます。つまり $\dfrac13\div2=\dfrac16$ です。
このように分数を整数で割るときは
\[\dfrac ab\div c=\dfrac a{b\times c}\]
となります。よって
\[\dfrac6{23}\div 3=\dfrac6{23\times 3}=\dfrac2{23}\]
答えは □＝２，$\dfrac6{23}\div 3=\dfrac2{23}$
３ かなさんは，食塩水について調べました。すると食塩水の濃さは，濃度と呼ばれる次の式で計算されることがわかりました。
濃度(％)$=\dfrac{\mbox{食塩の量}}{\mbox{食塩の量}+\mbox{水の量}}\times100$
この式の中にある分数の分母「(食塩の量」＋(水の量)」というのは，要するにこの食塩水全体の量のことを指します。例えば，食塩10gを水90gに混ぜると
濃度(％)$=\dfrac{10}{10+90}\times100=\dfrac{10}{100}\times100=10(\%)$
つまりその食塩水の濃度は10％であるということがわかります。
よって例えば，10%の食塩水が500gあるとき，この食塩水に含まれる食塩の量は 500×0.1＝50(g) であることがわかります。
次の各問いに答えなさい。
10点×3=30(点)
(1) 4%の食塩水100gを作るには，食塩と水をそれぞれ何gずつ必要ですか。
こたえ
上に書いてある食塩水の濃度(％)の決め方の式をよく見て、当てはめてみましょう。4%の食塩水100gというのは食塩と水の合計が100gであるということです。
食塩の量は 100×0.04＝4(g)
よって水の量は 100－4＝96(g)
答えは 食塩4g，水96g
(2) 4％の食塩水100gと，10%の食塩水200gを混ぜると，何％の食塩水ができますか。
こたえ
4％の食塩水100gに含まれる食塩の量は(1)で計算済みです。10%の食塩水200gに含まれる食塩の量を計算しましょう。
200×0.1＝20(g)
この2つの食塩水を混ぜると合計100＋200＝300gの食塩水ができます。この食塩水に含まれる食塩の量は
4＋20＝24(g)
よってこの食塩水の濃度は，上に書いてある食塩水の濃度(%)の決め方の式に当てはめて
\[\dfrac{24}{300}\times100=8(\%)\]
答えは ８％
(3) 8%の食塩水200gを，ビーカーに入れて加熱し，水を蒸発させたところ、食塩水は160gになりました。この食塩水の濃度は何％ですか。
こたえ
まず8%の食塩水200gに含まれる食塩の量を計算します。
200×0.08＝16(g)
食塩は加熱してもビーカーからなくなりません。200gから160gへと40g減少していますが，この40gはすべて水です。つまり，加熱する前と後では，ビーカーに入っている食塩の量に変化はありません。よって，この160gの食塩水の中の食塩の量が16gですから，濃度の計算式に当てはめて
\[\dfrac{16}{160}\times 100=10(\%)\]
答えは １０％
４ 次の各問いに答えなさい。
10点×2=20(点)
(1) 次の図は半円を3つ使ってできています。緑色の図形の周の長さを，$a$ と $b$ を使って表しなさい。
こたえ
直径が $a$ cm の円の部分は $a\times3.14\div2=a\times1.57$
直径が $b$ cm の円の部分は $b\times3.14\div2=b\times1.57$
直径が $(a+b)$ cm の円の部分は $(a+b)\times3.14\div2=(a+b)\times1.57$
よってこの緑色の図形の周の長さは
$a\times1.57+b\times1.57+(a+b)\times1.57$
(2) 次のような立体を円錐（えんすい）といいます。この円錐の展開図は下の図のように，円とおうぎ形になります。底面の円の半径が10cmのとき，赤色の曲線の長さは何cmですか。
こたえ
円の一部を弧（こ）といいます。赤色の曲線は点Aを中心とする円の弧です。この弧の長さは底面の円周の長さと同じです。底面の円は半径が10cmの円ですから直径は20cm。よって
20×3.14＝62.8(cm)
答えは 62.8cm
