１ 次の問いに答えなさい。
10点×4=40(点)
(1) $4\dfrac5{12}\times 8$ を帯分数で答えなさい。
こたえ
$4\dfrac5{12}$ を $4+\dfrac5{12}$ と表して，分配のきまりを使いましょう。
\[\begin{align*} 4\dfrac5{12}\times 8&=\left(4+\dfrac5{12}\right)\times 8\\[5pt] &=4\times8+\dfrac5{12}\times8\\[5pt] &=32+\dfrac{5\times8}{12}\\[5pt] &=32+\dfrac{5\times2}3\\[5pt] &=32+\dfrac{10}3\\[5pt] &=32+3\dfrac13\\[5pt] &=35\dfrac13 \end{align*}\]
答えは $\underline{35\dfrac13}$
(2) $\left(\dfrac{7}{3412}-\dfrac5{6824}\right)\times3412$ を帯分数で答えなさい。
こたえ
カッコ内の分数の引き算を先にやるのではなく，分配のきまりを使って計算しましょう。このとき，約分を行いながら計算を進めるのがポイントです。
\[\begin{align*} \left(\dfrac{7}{3412}-\dfrac5{6824}\right)\times3412&=\dfrac7{3412}\times3412-\dfrac5{6824}\times3412\\[5pt] &=\dfrac{7\times3412}{3412}-\dfrac{5\times3412}{6824}\\[5pt] &=7-\dfrac52\\[5pt] &=7-2\dfrac12\\[5pt] &=(6+1)-2\dfrac12\\[5pt] &=6-2+1-\dfrac12\\[5pt] &=4\dfrac12 \end{align*}\]
答えは $\underline{4\dfrac12}$
(3) $\left(\dfrac5{204}-\dfrac7{306}\right)\times102$
こたえ
(2)と同じようにして，分配のきまりを使って計算しましょう。そして，約分をやりながら計算を進めることも(2)と同じです。
\[\begin{align*} \left(\dfrac5{204}-\dfrac7{306}\right)\times102&=\dfrac5{204}\times102-\dfrac7{306}\times102\\[5pt] &=\dfrac{5\times102}{204}-\dfrac{7\times102}{306}\\[5pt] &=\dfrac52-\dfrac73\\[5pt] &=\dfrac{15}6-\dfrac{14}6\\[5pt] &=\dfrac16 \end{align*}\]
答えは $\underline{\dfrac16}$
(4) 1辺の長さが $x$ cmの立方体があります。この立方体よりたてと横の長さがそれぞれ1cm長く，高さが2cm短い直方体の体積を，$x$ を使って表しなさい。
こたえ
直方体のたて，横，高さがそれぞれ $x$ を用いてどのように表されるかを考えましょう。
たてと横は $x+1$cm
高さは $x-2$cm
よって直方体の体積は $(x+1)\times(x+1)\times(x-2)$
答えは $\underline{(x+1)\times(x+1)\times(x-2){\rm cm^2}}$
２ りこさんとまなさんは，まだ学校で習っていない分数どうしのかけ算はどのように考えるのか考えてみました。次のに入る数を答えなさい。
りこ「$\dfrac23\times\dfrac57$ はどうやって計算するのかなあ。」
まな「$\dfrac57$ というのは割り算で表すと ① ÷ ② だったよね。」
りこ「そっか、じゃあ $\dfrac23\times\dfrac57$ は
$\dfrac23\times$ ① ÷ ②
って考えればいいってわけね。」
まな「$\dfrac23\times$ ① は， ③ になるね。」
りこ「だから答えは ③ ÷ ② を計算して ④ ね。できたわ！」
10点
こたえ
$\dfrac57$ は 5÷7 と同じです。
① ５ ②７
よってまなさんの会話は $\dfrac23\times5=\dfrac{2\times5}3=\dfrac{10}3$ となります。
③ $\dfrac{10}3$
したがってりこさんの計算は $\dfrac{10}3\div7=\dfrac{10}{3\times7}=\dfrac{10}{21}$
答えは $\underline{\dfrac{10}{21}}$
３ かなさんは，食塩水について調べました。すると食塩水の濃さは，濃度と呼ばれる次の式で計算されることがわかりました。
濃度(％)$=\dfrac{\mbox{食塩の量}}{\mbox{食塩水の量}}\times100$
食塩水というのは食塩と水の合計ですから，この式は次のように表すこともできます。
濃度(％)$=\dfrac{\mbox{食塩の量}}{\mbox{食塩の量}+\mbox{水の量}}\times100$
例えば，食塩10gを190gの水に混ぜると200gの食塩水ができますが，この食塩水の濃度は
濃度(％)$=\dfrac{10}{200}\times100=5(\%)$
つまりその食塩水の濃度は5％であるということがわかります。
よって例えば，10%の食塩水が500gあるとき，この食塩水に含まれる食塩の量は 500×0.1＝50(g) であることがわかります。
次の各問いに答えなさい。
10点×3=30(点)
(1) 6gの食塩に，何gの水を加えると，4％の食塩水ができますか。
こたえ
でき上がる食塩水の量を□gとして，□を使った式を立ててみましょう。□gの4％が食塩の量ですから
□×0.04＝6 □は 6÷0.04＝150(g)
よって食塩水の量は150gであることがわかりました。このうち6gが食塩の量ですから，水の量は150－6＝144(g)
答えは 144g
(2) (1)の食塩水に，10gの食塩を混ぜると何％の食塩水になりますか。
こたえ
(1)の食塩水に含まれる食塩の量は6gで，それに10gの食塩を加えるのですから全部で食塩水に含まれる食塩の量は16gになります。あとは10gの食塩を加えた後で，食塩水全体が150＋10＝160gになりますから，食塩水の濃度は
$\dfrac{16}{160}\times100=10(\%)$
答えは 10％
(3) (1)の食塩水に，水を50g混ぜると，何％の食塩水ができますか。
こたえ
水を加えるだけですから，食塩水に含まれる食塩の量に変化はありません。50g加えることで，食塩水が 150＋50＝200(g)になります。よってこの食塩水の濃度は
$\dfrac{6}{200}\times100=\dfrac{6\times100}{200}=\dfrac62=3$(%)
答えは 3％
４ 次の各問いに答えなさい。
10点×2=20(点)
(1) 次の緑色の部分の面積を求めなさい。ただし，中の白色の部分は平行四辺形です。
こたえ
外側の台形の面積は
(8＋10)×5÷2＝45(cm²)
次に平行四辺形の面積は 3×5＝15(cm²)
よって緑色の部分の面積は 45－15＝30(cm²)
答えは 30cm²
(2) 正八角形の1つの角の大きさを求めなさい。
こたえ
三角形の3つの角の大きさの合計が180°であることを利用して，正八角形の8つの角の合計を計算します。
図のように正八角形の中には三角形が6つできますから，正八角形の8つの角の大きさの合計は
180×6＝1080°
です。よって1つの角の大きさは
1080÷8＝135°
答えは 135°
