vol.6 記数法のこたえ

演習問題1

(1)　$(3102{)}_5$は，大きい位から順に，

• $(3102{)}_5$の左から1番目の3は，$5^3$が3個あるという意味である．
• $(3102{)}_5$の左から2番目の1は，$5^2$が1個あるという意味である．
• $(3102{)}_5$の左から3番目の0は，$5^1$が0個あるという意味である．
• $(3102{)}_5$の左から4番目の2は，$5^0$が2個あるという意味である．

ということを表していますから， $$\begin{array}{rl}(3102{)}_5& =3\times 5^3+1\times 5^2+0\times 5^1+2\times 5^0\\ & =3\times 125+1\times 25+0\times 5+2\times 1\\ & =375+25+0+2\\ & =402\cdots (\text{答})\end{array}$$

(2)　(1)と同様に，

• $(123{)}_{12}$の左から1番目の1は，${12}^2$が1個あるという意味である．
• $(123{)}_{12}$の左から2番目の2は，${12}^1$が2個あるという意味である．
• $(123{)}_{12}$の左から3番目の3は，${12}^0$が3個あるという意味である．

ということを表していますから， $$\begin{array}{rl}(123{)}_{12}& =1\times {12}^2+2\times {12}^1+3\times {12}^0\\ & =1\times 144+2\times 12+3\times 1\\ & =144+24+3\\ & =171\cdots (\text{答})\end{array}$$

演習問題2

(1)　5進法で表したいわけですから，ひたすら5で割ります． $$\begin{array}{rl}& 5\underset{―}{)402}\\ & 5\underset{―}{)80}\cdots 2\\ & 5\underset{―}{)16}\cdots 0\\ & 3\cdots 1\end{array}$$ 　よって，最後の商の3も含めて下から順に余りを拾い上げると， $$(402{)}_{10}=(3102{)}_5\cdots (\mathrm{答})$$

(2)　今度は12進法ですから，12で割っていきます． $$\begin{array}{rl}& 12\underset{―}{)171}\\ & 12\underset{―}{)14}\cdots 3\\ & 1\cdots 2\end{array}$$ 　よって，最後の商の1も含めて下から順に余りを拾い上げると， $$(171{)}_{10}=(123{)}_{12}\cdots (\text{答})$$

演習問題3

(1)まずは，$4^0$の位から． $$2+2=4$$ よって，4のまとまりが1つ取れますから， $$4-4=0$$ を下に書いておきます．そして1つ繰り上げておきます． $$\begin{array}{rl}& 302\\ +)& 212\\ & {}^{1}0\end{array}$$ 　次の$4^1$の位は， $$0+1+1=2$$ 　ここから4のかたまりは取れませんから，そのまま下に書きます． $$\begin{array}{rl}& 302\\ +)& 212\\ & 20\end{array}$$ 　$4^2$の位は， $$\begin{array}{c}3+2=5\\ \therefore 5-4=1\end{array}$$ 　よって， $$\begin{array}{rl}& 302\\ +)& 212\\ & 1120\end{array}$$ 　以上より， $$(302{)}_4+(212{)}_4=(1120{)}_4\cdots (\text{答})$$

(2)　$9^0$は繰り下がりも何もないので，普通に計算して， $$\begin{array}{rl}& 466\\ -)& 285\\ & 1\end{array}$$ 　次に，$9^1$の位は，$9^2$の位から1つ借りてきます．このとき，9進法ですから，9だけ借りてきたことになります． $$(9+6)-8=7$$ よって， $$\begin{array}{rl}& 466\\ -)& 285\\ & 71\end{array}$$ 　最後に$9^2$の位です．先程1を貸してあげたことに注意すると， $$(4-1)-2=1$$ 　故に， $$\begin{array}{rl}& 466\\ -)& 285\\ & 171\end{array}$$ 　以上より， $$(466{)}_9-(285{)}_9=(171{)}_9\cdots (\text{答})$$

(3)　一方が2進法で，もう一方が3進法ですから，いったん両方とも10進法に変換してから掛け算を行います． $$\begin{array}{rl}(1011{)}_2& =1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+1\times 2^0\\ & =1\times 8+0\times 4+1\times 2+1\times 1\\ & =8+0+2+1\\ & =11\end{array}$$ 　また， $$\begin{array}{rl}(2022{)}_3& =2\times 3^3+0\times 3^2+2\times 3^1+2\times 3^0\\ & =2\times 27+0\times 9+2\times 3+2\times 1\\ & =54+0+6+2\\ & =62\end{array}$$ 　よって， $$\begin{array}{rl}(1011{)}_2\times (2022{)}_3& =(11{)}_{10}\times (62{)}_{10}\\ & =(682{)}_{10}\cdots (\text{答})\end{array}$$

(4)　2進法どうしの掛け算です．両方とも10進数に変換してから掛けても構いませんが，2進法の掛け算は，10進法の掛け算と全く同様にできます． $$\begin{array}{rl}& 1101\\ \times )& 101\\ & 1101\\ & 11010\\ & 1000001\cdots (\text{答})\end{array}$$