公務員試験のための数学ワークブック
公務員試験の一般知能分野、教員採用試験等の一般教養分野の数学に限定して説明しています。より本格的に復習されたい方は、本編の 高校数学 をご覧ください。
vol.6 記数法
このワークブックもいよいよ終盤に差し掛かってきました．今回のテーマは「記数法」です．数について，私たちに最も馴染み深いのは10進法です．これは，0～9までの10個の数を使って表現した数です．つまり10個をひとまとまりと考えるような数のことです．しかし数の表し方は，10進法だけではありません．例えば，コンピュータは0と1しか使わない2進法を採用していますし，時計の分や秒は60進法を使って表されています．(もっとも，60種の異なる文字を使っているわけではありませんが．)
一般知能では，数的推理はもちろん，判断推理の暗号問題などでも記数法が登場します．ポイントは，10進法からp進法への変換，あるいは逆に，p進法から10進法への変換ですが，いずれも簡単ですぐに習得できます．特に断らない限り，今回扱う数字は全て正の整数であるとします．
1. p進法 → 10進法
0, 1, 2, $\cdots, p-1$ の $p$ 個の数を使って数を表す方法を，$p$ 進法といいます．$p-1$までですから，$p$ そのものは含まれないことに注意してください．例えば，4進法において使われる数は，$0,\,1,\,2,\,3\ $の4つで，4は含まれていません．
さて，まずp進法から10進法への変換をみていきましょう．
例題 次の数を10進法に変換しなさい．
$(1)\ (11010)_2 (2)\ (543)_7$
こたえ
- 246の2は，100が2個あるという意味である．
- 246の4は，10が4個あるという意味である．
- 246の6は，1が6個あるという意味である．
となっています．これを書きかえると，
- 246の2は，$10^2\,$が2個あるという意味である．
- 246の4は，$10^1\,$が4個あるという意味である．
- 246の6は，$10^0\,$が6個あるという意味である．
となります．これらを全部足した数，すなわち，
\[ 2\times10^2+4\times10^1+6\times10^0 \]
が246であるといえます．冒頭でも述べたように，10進法とは，10個をひとまとまりと考える数ですから，10個集まるごとにひとまとめにし，またそれらまとめたものが10個集まったらさらにそれらをひとまとめにする，といった具合にどんどん考えていく数です．
10進法以外の数についても全く同じです．$p$ 進法は，$p$ 個をひとまとまりと考える数ですから，$p$ 個集まるごとにひとまとめにし，まとめたものが $p$ 個集まればまたそれらをひとまとめにする，といったように考えます．従って，10進法では小さい位から(右から)順に，
\[ 10^0,\ 10^1,\ 10^2,\ 10^3,\ 10^4,\ \cdots\]
がそれぞれ何個あるかを示しますが，全く同様に，$p$ 進法では，小さい位から(右から)順に，
\[ p^0,\ p^1,\ p^2,\ p^3,\ p^4,\ \cdots \]
がそれぞれ何個ずつあるのかを示しています．
(1) カッコの外の添え字 $p$ は，その数が $p$ 進法で表されていることを示します．従って，この数は2進法で表された数です．2進法は小さい位から順に，
[ 2^0,\ 2^1,\ 2^2,\ 2^3,\ 2^4,\ \cdots]
が何個あるかを表しています．よって，
- $\,(11010)_2$の左から1番目の1は，$2^4\,$が1個あるという意味である．
- $\,(11010)_2$の左から2番目の1は，$2^3\,$が1個あるという意味である．
- $\,(11010)_2$の左から3番目の0は，$2^2\,$が0個あるという意味である．
- $\,(11010)_2$の左から4番目の1は，$2^1\,$が1個あるという意味である．
- $\,(11010)_2$の左から5番目の0は，$2^0\,$が0個あるという意味である．
ということを表していますから，
\[\begin{align*} (11010)_2 &= 1\times2^4+1\times2^3+0\times2^2+1\times2^1+0\times2^0\\ &=16+8+0+2+0\\ &=(26)_{10}\ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\]
となります．
(2) 全く同様に考えます．
- $\,(543)_7$の左から1番目の5は，$7^2\,$が5個あるという意味である．
- $\,(543)_7$の左から2番目の4は，$7^1\,$が4個あるという意味である．
- $\,(543)_7$の左から3番目の3は，$7^0\,$が3個あるという意味である．
よって，
\[\begin{align*} (543)_7 &= 5\times7^2+4\times7^1+3\times7^0\\ &= 5\times49+4\times7+3\times1\\ &= 245+28+3\\ &= (276)_{10}\ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\]
となります．
一般に，次のことが成り立ちます．
$p$ 進法で書かれた数が，
\[(a_1a_2a_3\,\cdots\,a_n)_p （\mbox{すぐ下の(注)参照）}\]
のとき，これを10進法で表した数$\,N\,$は，
\[ N = a_1\cdot p^{n-1}+a_2\cdot p^{n-2}+\cdots+a_{n-1}\cdot p+a_n\]
（注） $(a_1a_2a_3\,\cdots\,a_n)_p$は， \[ a_1\times a_2\times a_3\times\,\cdots\,\times a_n \] を意味するではなく，単なる数字の羅列を意味しています．
演習問題1 次の数を$10$進法に変換しなさい．
$(1)\ (3102)_5 (2)\ (123)_{12}$
2. 10進法 → p進法
次に10進法からp進法への変換をみていきましょう．
例題
次の数を指示に従って変換しなさい．
(1) $(26)_{10} (2$進法に) (2) $(276)_{10}$ (7進法に)
こたえ
10進法からp進法への変換もほとんど機械的です．基本は，10進法の数をpでどんどん割っていき，各割り算で出た余りを記録する，というものです．
(1) 2進法で表したいわけですから，26を2でどんどん割っていきます．
その際，出た余りを横に書いておきます．
\[\begin{align*} & 2\underline{ )\ 26\ }\\[5pt] & 2\underline{ )\ 13\ }\cdots\ 0\\[5pt] & 2\underline{ )\ \ 6\ }\cdots\ 1\\[5pt] & 2\underline{ )\ \ 3\ }\cdots\ 0\\[5pt] & \hspace{6mm} 1\ \cdots\ 1 \end{align*}\]
そして，最後の商の1も含めて下から順に余りを書き出します．
$11010\ \cdots$(答)
(2) (1)と同様ですが，今度は7進法に表現したいわけですから，276を
どんどん7で割っていきます．
\[\begin{align*} & 7\underline{ )\ 276\ }\\ & 7\underline{ )\ \ \ 39\ }\cdots\ 3\\ & \hspace{9mm} 5\ \cdots\ 4\\ \end{align*}\]
よって，最後の商の5も含めて下から順に余りを書き出して，
$ 543 \ \cdots$ (答)
(1)(2)とも，Section1で求めた結果と矛盾しいないことを確かめてください．
演習問題2 次の数を，指示に従って変換しなさい．
(1) $(402)_{10}$ (5進法に) (2) $(171)_{10}$ (12進法に)
3. 記数法の演算
それでは次に，10進法以外の四則演算，あるいは，異なる記数法で表された数の四則演算をみていきましょう．
3.1 10進法以外の足し算・引き算
「10進法以外の」といっても，一般のp進法において，$p=10\,$のときが10進法ですから，大体の計算方法は同じです．まずは足し算・引き算からみていきましょう．
例題 次の計算をしなさい．
(1) $(123)_7+(446)_7$ (2) $(233)_5-(134)_5 $
こたえ
足し算，引き算については，ほとんど10進法と同じです．注意すべき点は，p進法においては，p個集まったら位を1つ上げるということです．
(1)まず普通に筆算の形式で書きます．
\[\begin{array}{rr} &123\\ +)&446\\\hline \end{array}\]
次に，10進法の計算と同様に，一番小さい位からみていきます．
\[3+6=9\]
ですが，7進法では7個集まったらそれをひとまとめにして1つ位を上げるのでしたから，
\[9-7=2\]
よって，2だけを下に書いておいて，1つ繰り上げます．
\[\begin{array}{rr} &123\\ +)&446\\\hline &^12 \end{array}\]
この後は同様の作業の繰り返しです．次の$7^1$の位は，$7^0$の位からの繰り上がり1があることに注意して，
\[ 2+4+1=7\]
この場合も，7が1セット取れますから，
\[7-7=0\]
よって，0だけを下に書いておいて，1つ繰り上げます．
\[\begin{array}{rr} &123\\ +)&446\\\hline &^102 \end{array}\]
最後は，$7^2$の位です．
\[1+4+1=6\]
6からは7個のまとまりが取れませんから，そのまま下に書いて出来上がりです．
\[\begin{array}{rr} &123\\ +)&446\\\hline &602 \end{array}\]
以上より，
$(123)_7+(446)_7=(602)_7\ \cdots$ (答)
となります．
(2) 引き算も，足し算と同様に求めることができます．まず一番小さい位からみていきます．
\[3-4<0\]
ですから，すぐ上の位から1つ借りてこないといけません．本問の場合，5進法ですから，すぐ上の位から1つ借りてくるということは，10進法でいうところの数「5」を借りてくることになります．従って，最初のステップでは，
\[ (\underline{5}+3)-4=4 \]
よって，下に4を書いておきます．
\[\begin{array}{rr} &233\\ -)&134\\\hline &4 \end{array}\]
次に，$5^1$の位をみていきます．ここでは，$(233)_5$の真ん中の3は，先程1つ貸してあげたので，1つ小さくなって2となります．このあたりの考え方も，まるっきり10進法のときと同じです．そこで，$5^1$の位を計算してみると，
\[ (3-1)-3<0 \]
となって，またひとつ上の位から，1つ借りてこないといけません．先程と同じようにやりましょう．
\[ (\underline{5}+2)-3=4 \]
よって，4だけ下に書きます．
\[\begin{array}{rr} &233\\ -)&134\\\hline &44 \end{array}\]
最後に$5^2$の位です．233の2は，先程1つ貸してあげたので，1つ減って1となります．
\[ 1-1=0 \]
よって，この下に0を書いてもしょうがないので，何も書きません．
以上により，
$(223)_5-(134)_5=(44)_5\ \cdots$ (答)
となります．
3.2 10進法以外の掛け算・割り算
では次に，10進法以外の掛け算・割り算はどのようにやればよいのでしょうか．掛け算・割り算については面倒でもいったん10進法に変換してから掛け算・割り算を行い，必要に応じてまた元のp進法に変換するという方法を取ったほうが安全です．
何故なら，普段私たちが10進法の掛け算・割り算を行う際には，「掛け算の九九」というものを利用して計算しています．例えば，
\[\begin{align*} 5\times1 &= 5\\ 5\times2 &= 10\\ 5\times3 &= 15\\ &\vdots \end{align*}\]
などです．もしこれが6進法の掛け算なら，
\[\begin{align*} (5)_6\times(1)_6 &= (5)_6\\ (5)_6\times(2)_6 &= (14)_6\\ (5)_6\times(3)_6 &= (23)_6\\ &\vdots \end{align*}\]
といった具合に，6進法版の5の段を記憶する(その場で計算する)ことをしなければなりません．計算自体はそれほど面倒ではありませんが，私たちは10進法以外の計算に不慣れですから，一度10進法に変換してから計算することをお勧めします．
3.3 異なる記数法での演算
例えば，
\[ (123)_4+(567)_8 \]
といったような計算は，どちらかに表記を統一して計算を行わなければなりません．こういうケースはやはり2つとも10進法に変換してから計算しましょう．
演習問題3 次の計算をしなさい．ただし(3)は10進法で答えなさい．
$(1) (302)_4+(212)_4 \hspace{12mm} (2) (466)_9-(285)_9$
$(3) (1011)_2\times(2022)_3 \hspace{8mm} (4) (1101)_2\times(101)_2$
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