3．文字式の計算：中学1年数学―オリジナル基礎教科書

中学数学[総目次]

中学1年数学　2章　文字と式

級 検定 教科書
3級：文字式の基礎と表現ルール
2級：文字式の基本的な計算ルール
1級：関係を表す式と等式・不等式の基礎

1．等しい関係を表す式

「＝」という記号の2つの意味

　等しいことを表す「＝」という記号を等号(とうごう)といいます。実は，等号「＝」には，2つの使い方があります。

※中学校の教科書にはこの点について書かれていることはほとんどありません。高校では2つの意味の違いがハッキリと分かっている必要があります。意欲的な人はこちら を見てください。

(A) 「1＋2＝3」の「＝」

　ケーキ1個をお皿にのせ，さらにもう2個のせました。お皿の上のケーキは何個でしょうか。
→「1＋2＝3」です。

  • この「＝」は、「1＋2を計算したら，3でした」という計算結果を示す記号です。

(B) 「$2x=400$」の「＝」

　1冊 $x$ 円のノート2冊の代金は，400円である。
→　「$2x=400$」 と表せます。

  • この「＝」は，ノート2冊の代金の $2x$ 円と，実際の代金の400円が，同じであるという関係を表す記号です。
  • ですから「計算はまだ終わってない」し，「$x$ の値が知りたい」ときに使う「＝」です。

まとめ

式のタイプ 主な意味や使い方 「＝」のイメージ
$1+2=3$ 計算結果を書くとき 「答えはこれ！」
$2x=400$ ２つのものが等しいとき 「$x$ を探そう！」

2．等式

　等号「＝」について，2つの意味があることを学びましたが，ここからは専ら $2x=400$ の方，つまり2つの数量が等しいことを表す「＝」について見ていきます。

　等号「＝」を使った次のような式を，等式(とうしき)といいます。

\[A=B\]

　このとき，左側にある $A$ を左辺(さへん)といい，右側にある $B$ を右辺(うへん)といいます。また，左辺と右辺を合わせて両辺(りょうへん)といいます。

　問題文の条件から等式を作る基本的な方法は，次のようになります。

条件から等式を作るときの基本

　条件「～ は，… である。」

  • 主語である「～」が左辺
  • 「は」が　＝
  • 述語である「…」が右辺

※あくまで基本形です。等式の作り方が，複数考えられる場合もあります。

例1　1本80円の鉛筆 $x$ 本の代金は，320円である。

等式を見る

「1本80円の鉛筆 $x$ 本の代金は」から　$80x=$
「320円である」から　320
この2つから， \[80x=320\]

例2　姉の身長 $a$ cmは，妹の身長 $b$ cmより10cm高い。

等式を見る

「姉の身長 $a$ cmは」から　$a=$
「妹の身長 $b$ cmより10cm高い」から　$b+10$
この2つから， \[a=b+10\]

例3　$a$ 人が1人200円ずつ出して，$b$ 円のプレゼントを買おうとしたが，100円足りない。

等式を見る

問題文を「$a$ 人が1人200円ずつ出した合計は，$b$ 円より100円少ない。」と読みかえます。
「$a$ 人が1人200円ずつ出した合計は」から　$200a=$
「$b$ 円より100円少ない」から　$b-100$
この2つから， \[200a=b-100\]

3．不等式

　前節では，2つの数量が等しいことを表す等式を学びましたが，ここでは2つの数量が等しくないこと表す不等式について学びます。

　2つの数量 $A,\ B$ について，$A$ の方が $B$ より大きいことを

\[A>B\]

で表し，「A 大(だい)なり B」と読みます。

　逆に，$A$ が $B$ より小さいとき，

\[A<B\]

で表し，「A 小(しょう)なり B」と読みます。

　等式と同じように，左側にある $A$ を左辺といい，右側にある $B$ を右辺といいます。また，左辺と右辺を合わせて両辺といいます。

　また，「＞」や「＜」の記号を不等号(ふとうごう)といい，不等号を用いた式を不等式(ふとうしき)といいます。

ワンポイント

「大なり」「小なり」の「大」「小」は，主語である左辺の $A$ が大きいか，小さいかで「大なり」「小なり」が決まります。例えば $5>2$ は5の方が2より大きいので，「5大なり2」と読みます。

例1　1本120円のジュース $x$ 本の代金は，1000円より安い。

不等式を見る

「1本120円のジュース $x$ 本の代金」より　$120x$
「1000円より安い」より　$<1000$
この2つから， \[120x<1000\]

例2　数学 $a$ 点，国語 $b$ 点で，この2つの平均は70点より高かった。

不等式を見る

「数学 $a$ 点，国語 $b$ 点で，この2つの平均」より　$\dfrac{a+b}2$
「70点より高かった」より　$>70$
この2つから， \[\dfrac{a+b}2>70\]

例3　縦 $x$ cm，横 $y$ cmである長方形の面積は，50cm²より小さい。

不等式を見る

「縦 $x$ cm，横 $y$ cmである長方形の面積」より　$xy$
「50cm²より小さい」より　$<50$
この2つから， \[xy<50\]

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3級：文字式の基礎と表現ルール
2級：文字式の基本的な計算ルール
1級：関係を表す式と等式・不等式の基礎