このページにある内容は,こちらのスライドでわかり易く説明しています.

高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第1章 式と証明

  スライド ノート
1. 整式の除法 [無料]  
2. 分数式 [無料]  
3. 恒等式 [無料]  
4. 等式の証明 [無料]  
5. 不等式の証明 [無料]  

4. 等式の証明

4.1 等式の証明

 等式 $A=B$ の証明の仕方としては,次のような方法はある.

等式 $A=B$ の証明の仕方① $A=\cdots=B$
  (左辺を変形して右辺を導く)
② $B=\cdots=A$
  (右辺を変形して左辺を導く)
③ $A=\cdots=C,\ B=\cdots=C$
  (左辺・右辺共に変形して,同じ式Cを導く)
④ $A-B=\cdots=0$
  ( (左辺)$-$(右辺) を計算して0を導く)

例題 等式 $(x\!+\!y)^2\!-\!2xy\!=\!x^2\!+\!y^2$ を証明せよ.

① [左辺を変形して右辺を導く] \[\begin{align*} (\mbox{左辺})&=(x^2+2xy+y^2)-2xy\\[5pt] &=x^2+y^2\\[5pt] &=(\mbox{右辺}) \end{align*}\]

② [右辺を変形して左辺を導く] \[\begin{align*} (\mbox{右辺})&=x^2+y^2+(2xy-2xy)\\[5pt] &=(x^2+2xy+y^2)-2xy\\[5pt] &=(x+y)^2-2xy\\[5pt] &=(\mbox{左辺}) \end{align*}\]

④ [(左辺)$-$(右辺) を計算して0を導く] \[\begin{align*} (\mbox{左辺})-(\mbox{右辺})&=\{(x+y)^2-2xy\}-(x^2+y^2)\\[5pt] &=\{(x^2+2xy+y^2)-2xy\}-(x^2+y^2)\\[5pt] &=(x^2+y^2)-(x^2+y^2)\\[5pt] &=0 \end{align*}\]

注意

 次のような証明の書き方は正しくない.

\[\begin{align*} (x+y)^2-2xy&=x^2+y^2\ \ \cdots (*)\\[5pt] (x^2+2xy+y^2)-2xy&=x^2+y^2\ \ \cdots (**)\\[5pt] x^2+y^2&=x^2+y^2 \end{align*}\]

 $(*)$ の「$=$」をこれから示そうというのであるから,$(*)$ の左辺を変形しただけの $(**)$ も,「$=$」が成り立つかどうかはわかっていない.(「$(*)$ を示すことは,$(**)$ を示すことと同値で,$\cdots$」などときちんと書いていくのならよいが...)


高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第1章 式と証明

  スライド ノート
1. 整式の除法 [無料]  
2. 分数式 [無料]  
3. 恒等式 [無料]  
4. 等式の証明 [無料]  
5. 不等式の証明 [無料]