高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第1章 式と証明
| スライド | ノート | |
| 1. 整式の除法 | [無料] | |
| 2. 分数式 | [無料] | |
| 3. 恒等式 | [無料] | |
| 4. 等式の証明 | [無料] | |
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1. 整式の除法
1.1 商と余り
2つの整式 $A, B$ について，
$A=BQ\ \ \cdots$ ①
となる整式 $Q$ が存在するとき，
$A$ は $B$ で割り切れる
といい，$Q$ を商という．
例
$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$
よって，$x^2-2x-3$ は $x+1$ で割り切れ，そのときの商は $x-3$ である．
「$\boldsymbol{A}$ が $\boldsymbol{B}$ で割り切れない」とは，①を満たす $Q$ がないときで，このとき
$A=BQ+R$
ただし，$\boldsymbol{(B}$ の次数$\boldsymbol{)>(R}$ の次数$\boldsymbol{)}$
を満たす $Q$ と $R$ が一意的に定まる．
この $Q$ を $A$ を $B$ で割ったときの商，$R$ を余りという．
例
$2x^3+x-3=(x^2+2x-1)(2x-4)+11x-7$
よって，$2x^3+x-3$ を $x^2+2x-1$(2次式) で割ったときの商は，$2x-4$，余りは $11x-7$(1次式)
1.2 筆算による整式の除法
例
(1) $(x^3-x^2+x-2)\div(x-2)$
よって，商 $x^2+x+3$，余り $4$
(2) $(2x^3+x-3)\div(x^2+2x-1)$
よって，商 $2x-4$，余り $11x-7$
補足
慣れてくれば，係数のみ書き出すのでよい．例えば上の(1)は次のようにする：
1.3 組立除法
割る式が1次の式ならば，次の組立除法と呼ばれる計算方法もある：
例(1)
注意
割る式の1次の係数が1でないときには注意を要する．
例 $(2x^3-5x^2+8x+2)\div(2x-1)$
\[\begin{align*} 2x^3\!-\!5x^2\!+\!8x\!+\!2&=\left(\!x\!-\!\frac12\!\right)(2x^2\!-\!4x\!+\!6)\!+\!5\\[5pt] &=\left(\!x\!-\!\frac12\!\right)\cdot2(x^2\!-\!2x\!+\!3)+5\\[5pt] &=(2x-1)(x^2-2x+3)+5 \end{align*}\]
よって，商 $x^2-2x+3$，余り $5$
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