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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第1章 式と証明

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1. 整式の除法 無料      【ノート
2. 分数式 無料        【ノート
3. 恒等式 無料        【ノート
4. 等式の証明 無料      【ノート
5. 不等式の証明 無料     【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

1. 整式の除法

1.1 商と余り

 2つの整式 $A, B$ について,

$A=BQ\ \ \cdots$ ①

となる整式 $Q$ が存在するとき,

$A$ は $B$ で割り切れる

といい,$Q$ をという.

 $x^2-2x-3=(x+1)(x-3)$
 よって,$x^2-2x-3$ は $x+1$ で割り切れ,そのときの商は $x-3$ である.

 「$\boldsymbol{A}$ $\boldsymbol{B}$ で割り切れない」とは,①を満たす $Q$ がないときで,このとき

$A=BQ+R$
ただし,$\boldsymbol{(B}$ の次数$\boldsymbol{)>(R}$ の次数$\boldsymbol{)}$

を満たす $Q$ と $R$ が一意的に定まる.
 この $Q$ を $A$ を $B$ で割ったときの,$R$ を余りという.

 $2x^3+x-3=(x^2+2x-1)(2x-4)+11x-7$
 よって,$2x^3+x-3$ を $x^2+2x-1$(2次式) で割ったときの商は,$2x-4$,余りは $11x-7$(1次式)

1.2 筆算による整式の除法

(1) $(x^3-x^2+x-2)\div(x-2)$

   よって,商 $x^2+x+3$,余り $4$

(2) $(2x^3+x-3)\div(x^2+2x-1)$

   よって,商 $2x-4$,余り $11x-7$

補足

 慣れてくれば,係数のみ書き出すのでよい.例えば上の(1)は次のようにする:

1.3 組立除法

 割る式が1次の式ならば,次の組立除法と呼ばれる計算方法もある:

例(1)

注意

 割る式の1次の係数が1でないときには注意を要する.

 $(2x^3-5x^2+8x+2)\div(2x-1)$

\[\begin{align*} 2x^3\!-\!5x^2\!+\!8x\!+\!2&=\left(\!x\!-\!\frac12\!\right)(2x^2\!-\!4x\!+\!6)\!+\!5\\[5pt] &=\left(\!x\!-\!\frac12\!\right)\cdot2(x^2\!-\!2x\!+\!3)+5\\[5pt] &=(2x-1)(x^2-2x+3)+5 \end{align*}\]

  よって,商 $x^2-2x+3$,余り $5$


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数学Ⅱ 第1章 式と証明

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2. 分数式 無料        【ノート
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5. 不等式の証明 無料     【ノート

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