3. 恒等式(ノート)
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数学Ⅱ　第1章　式と証明

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3. 恒等式

3.1　恒等式と方程式

恒等式

　どんな値でも成り立つ等式

例

・$2(x+3)=2x+6$
・$x^2-2x+1=(x-1)^2$

補足

　どんな値でも等号が成立する恒等式に対して，特定の値でしか等号が成立しない式を方程式という．

例　$a,b$ を定数とするとき，$ax\!+\!b\!=\!2x\!+\!3$という等式について．

恒等式とみる

　どんな値でも等号が成り立つから，
　　$x=0$ を代入して $a\cdot0+b=2\cdot0+3$
　　　　　$\therefore b=3$
　　$x=1$ を代入して $a\cdot1+3=2\cdot1+3$
　　　　　$\therefore a=2$
　逆に，$a=2,b=3$ のとき，明らかに与式は恒等的に成り立つ．
　以上により，$\underline{\boldsymbol{a=2,b=3}}$

方程式とみる

　与式を変形して，

$(a-2)x=3-b\ \ \cdots$ ①

(i) $a\neq 2$ のとき，$x=\dfrac{3-b}{a-2}$

(ii) $a=2$ のとき
　①は　$0x=3-b$
　よって，$b=3$ のとき，$x$ は任意の実数
　　　　　$b\neq3$ のとき，解なし

　以上により，

　　$\boldsymbol{a\neq2}$ のとき，$\boldsymbol{x=\dfrac{3-b}{a-2}}$
　　$\boldsymbol{a=2}$ のとき
　　　$\boldsymbol{b=3}$ ならば，$\boldsymbol{x}$ はすべての実数
　　　$\boldsymbol{b\neq3}$ ならば，解なし

3.2　恒等式の性質

恒等式の性質(1)　$a,b,c$ を定数として，\[ ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0\ \mbox{が恒等式}\iff a\!=\!b\!=\!c\!=\!0\]

証明

$\Leftarrow)$ 明らか．

$\Rightarrow)$ $x=0,1,-1$ とおくと \[\left\{\begin{array}{r} c=0\\[5pt] a+b+c=0\\[5pt] a-b+c=0 \end{array}\right.\] \[\therefore a=b=c=0\]

■

上の性質からただちに次も成り立つ：

恒等式の性質(2)　$a,b,c,a’,b’,c’$ を定数として，\begin{align*}ax^2\!+\!bx+&c\!=\!a’x^2\!+\!b’x\!+\!c’\ \mbox{が恒等式}\\[5pt] &\iff a\!=\!a’,b\!=\!b’,c\!=\!c’ \end{align*}

証明

\[\begin{align*} &ax^2+bx+c=a’x^2+b’x+c’\mbox{が恒等式}\\[5pt] \iff & (a\!-\!a’)x^2\!+\!(b\!-\!b’)x\!+\!(c\!-\!c’)\!=\!0\mbox{が恒等式} \end{align*}\] 　よって上の性質により， \[a-a’=0,\ b-b’=0,\ c-c’=0\] \[\therefore a=a’,\ b=b’,\ c=c’\]

■

例題　$\dfrac{3x\!-\!5}{(2x\!-\!1)(x\!+\!3)}\!=\!\dfrac a{2x\!-\!1}\!+\!\dfrac b{x\!+\!3}$ が $x$ についての恒等式のとき，$a,b$ の値を求めよ．

解法1

　両辺に $(2x-1)(x+3)$ を掛けて， \[\begin{align*} 3x-5&=a(x+3)+b(2x-1)\\[5pt] \therefore 3x-5&=(a+2b)x+3a-b \end{align*}\] 　両辺の係数を比較して， \[\left\{\begin{array}{l} a+2b=3\\[5pt] 3a-b=-5 \end{array}\right.\] \[\therefore \underline{\boldsymbol{a=-1,b=2}}\]

解法2

　両辺に $(2x-1)(x+3)$ を掛けて， \[3x-5=a(x+3)+b(2x-1)\ \ \cdots\mbox{①}\] 　この式の $x$ を $\dfrac12$ とおいて， \[\begin{align*} 3\cdot\frac12-5&=a\left(\frac12+3\right)+b\left(2\cdot\frac12-1\right)\\[5pt] -\frac72&=\frac72a\\[5pt] \therefore a&=-1 \end{align*}\] 　同様に，$x=-3$ とおいて， \[\begin{align*} 3\cdot(-3)-5&=a(-3+3)+b\{2\cdot(-3)-1\}\\[5pt] -14&=-7b\\[5pt] \therefore b&=2 \end{align*}\] 　逆に，$a=-1,b=2$ のとき，①の右辺と左辺は同じ式になるから，$\underline{\boldsymbol{a=-1,b=2}}$ が求めるものである．

非常によくある質問

補足

　解法2において，最後に逆を確かめたが，実は本問では不要である．というのも①式，即ち

\[3x-5=a(x+3)+b(2x-1)\]

の左辺は1次式，右辺は1次以下の式であるから，2つの $x$ の値で等号が成り立てば，それ以外の全ての実数 $x$ についても等号が成り立つのである．(1次関数のグラフは直線であるが，直線は通る2点を指定すればただ1つに定まる．)

　しかし一般には次のような例もあるため，「逆」を確認しておくのが無難である．

例　次の式が恒等式となる定数 $a, b$ は？ \[4x^2=a(x+1)^2+b(x-1)\]

　両辺の $x$ を１とおいて $a=1$，また $x=-1$ とおいて $b=-2$．
　すると与式は \[4x^2=1(x+1)^2-2(x-1)\] となるが，右辺は $x^2+3$ となるから恒等式ではない．
※　実は上の式が恒等式となる定数 $a,b$ は存在しない．

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