2. 分数式(ノート)
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数学Ⅱ　第1章　式と証明

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2. 分数式

2.1　分数式の計算

　$\dfrac52$ や $-\dfrac43$ を分数と呼んだように，$\dfrac{x^2-1}{x+2}$ のような式を分数式という．分数式の取り扱いは，分数の場合とほぼ同じである．

① 約分

　分数では$\dfrac{18}{24}=\dfrac34$ という具合に公約数で約分ができたが，分数式では公約式とでもいうべき共通因数で約分することができる．

分数式の基本性質　$A$～$D$を整式とする．（ただし$C\neq0,D\neq0$）\begin{align*} &\frac AB=\frac{A\times C}{B\times C}\\ &\frac AB=\frac{A\div D}{B\div D} \end{align*}

例　$\dfrac{x^3-1}{x^2+x-2}=\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x+2)(x-1)}=\dfrac{x^2+x+1}{x+2}$

② 四則計算

　分数式どうしの計算は，ほとんど分数の場合と同じである．足したり引いたりできるのは分母の式が同じ場合のみであって，異なっている場合はいわゆる通分の作業が必要になる．一方，分数式を掛けたり割ったりするときは，分数の場合と全く同じ取り扱いである．

分数式の四則\begin{align*} &\frac AC+\frac BC=\frac{A+B}C\\ &\frac AC-\frac BC=\frac{A-B}C\\ &\frac AB\times\frac CD=\frac{AC}{BD}\\ &\frac AB\div\frac CD=\frac AB\times\frac DC=\frac{AD}{BC} \end{align*}

例　　$\dfrac1{x^2+x}-\dfrac1{x^2-x-2}$
　　　　　$=\dfrac1{x(x+1)}-\dfrac1{(x+1)(x-2)}$
　　　　　$=\dfrac{x-2}{x(x+1)(x-2)}-\dfrac x{x(x+1)(x-2)}$
　　　　　$=\dfrac{(x-2)-x}{x(x+1)(x-2)}$
　　　　　$=-\dfrac2{x(x+1)(x-2)}$

　整式(単項式と多項式)と分数式をあわせて有理式という．

注意

①　例えば，$\dfrac{x+5}2$ は $\dfrac 12x+\dfrac52$ と書けるから，分数式ではなく整式である．
②　例えば，$\dfrac{x-1}{x^2-1}$ は約分を行って $\dfrac 1{x+1}$ とできるが， \[\frac{x-1}{x^2-1}=\frac 1{x+1}\ \ \cdots(*)\] と書くとき，両辺の $x$ を 1 とおくと，左辺は分母が0となって意味を持たないが，右辺は $\dfrac12$と なり意味を持つ．このように，$(*)$式の等号「$=$」は，$x\neq1$ が前提となっている．

2.2　仮分数式→整式＋真分数式

　$\dfrac52$ のような分数を仮分数(かぶんすう)と呼んだ．この場合，主に小学校では $\dfrac52=2\dfrac12$ のように(分子の数)<(分母の数) となるような変形を行って，この形の分数を帯分数と呼んだ．

　分数式の場合にも同様の状況が考えられて，(分子の次数)≧(分母の次数) となっている仮分数式とでもいうべきものがある．これを

(分子の次数)＜(分母の次数)

という形に変形することができる．(分子の次数)＜(分母の次数)である分数式を真分数式(しんぶんすうしき)という．

　仮分数式を(整式)＋(真分数式)に書き換える際，例えば帯分数 $2\dfrac12$ では $2+\dfrac12$ の「＋」を省略して書くことが許されたが，分数式の場合には「＋」の省略が許されない．

例題1　関数 $y=\dfrac {2x+3}{x-1}$ $(2\leqq x\leqq 3)$ の値域を求めよ．

ポイント
　 割り算を行って，
　　　(整式)+(真分数式)
　の形にする．

答

　解答例を表示する

　$2x+3=(x-1)\times2+5$ より，

\[\begin{align*} y&=\frac{2x+3}{x-1}\\[5pt] &=\frac{2(x-1)+5}{x-1}\\[5pt] &=2+\frac5{x-1} \end{align*}\]

　$2\leqq x\leqq 3$ のとき，

\[\frac5{3-1}\leqq\frac5{x-1}\leqq\frac5{2-1}\]

\[\therefore \frac 52\leqq\frac5{x-1}\leqq 5\]

　よって求める値域は，

\[2+\frac52\leqq y\leqq 2+5\]

\[\therefore \underline{\boldsymbol{\frac92\leqq y\leqq 7}}\]

例題2　関数 $y=\dfrac {x^2}{x-1}$ $(x > 1)$ の最小値を求めよ．

答

　解答例を表示する

　$x^2=(x+1)(x-1)+1$ より，

\[\begin{align*} y&=\frac{x^2}{x-1}\\[5pt] &=\frac{(x+1)(x-1)+1}{x-1}\\[5pt] &=x+1+\frac1{x-1}\\[5pt] &=x\underline{\boldsymbol{-1}}+\frac1{x-1}\ \underline{\boldsymbol{+2}} \end{align*}\]

　$x>1$ より $x-1>0$，$\dfrac1{x-1}>0$ であるから，相加・相乗平均の関係 により，

\[\begin{align*} y&\geqq2\sqrt{(x-1)\cdot\frac1{x-1}}+2\\[5pt] &=2+2=4 \end{align*}\]

　等号成立は，$x-1=\dfrac1{x-1}$，すなわち

\[\begin{align*} (x-1)^2&=1\\[5pt] x-1&=\pm1\\[5pt] x&=1\pm1 \end{align*}\]

　$x>1$ より $x=2$

　以上により，$\boldsymbol{x=2}$ のとき最小値4をとる．

発展的補足

　この例題の別解を3つ挙げる．

別解1

　$\dfrac {x^2}{x-1}=k$ とおいて整理すると

\[x^2-kx+k=0\]

　題意はこの2次方程式が $x>1$ に実数解をもつような $k$ の最小値を求めることと同値で，その条件は左辺が $x=1$ のとき正の数となることに注意すると，

\[\frac k2>1,\ k^2-4k\geqq0\]

\[\therefore k\geqq4\]

　従って求める最小値は4．

※2つの不等式条件については，2次方程式の解の配置 を参照．

別解2

　$\dfrac {x^2}{x-1}=k$ とおく．左辺の分母を払って

\[x^2=k(x-1)\]

　両辺をそれぞれ $y$ とおいたグラフは，$y=x^2$ が放物線，そして $y=k(x-1)$ が定点 $(1,0)$ を通る直線である．従って題意は放物線と直線が $x>1$ で共有点をもつような $k$ の最小値を求めることと同値である．グラフを考えると $k$ が最小となるのは2つのグラフが接するときであるから，$x^2-kx+k=0$ の判別式 $D=0$ より

\[k^2-4k=0\ \ \therefore k=4\]

　よって求める最小値は4．

※$k=0$ のときは不適．

別解3

　$\dfrac {x^2}{x-1}$ を $\dfrac {x^2-0}{x-1}$ と書き換えると，この式は2点 $(x,x^2)$，$(1,0)$ を結ぶ直線の傾きを表す．従って題意は $x>1$ におけるこの直線の傾きの最小値を求めることと同値で，$(x,x^2)$ は放物線 $Y=X^2$ 上の点であるから，あとは例題2と同様に接する場合の傾きを求めて最小値は4．

2.3　繁分数式

　分数で例えば $\dfrac{\ \dfrac23\ }{\dfrac45}$ を繁分数(はんぶんすう)と呼んだが，分子や分母に分数式があるものを繁分数式という．繁分数式の形を解消して通常の分数式にするやり方は，繁分数を通常の分数に戻す手順と全く同じである．

例題　次の計算をせよ． \[\dfrac 1{1-\dfrac 1{1-\dfrac 2{x+1}}}\]

ポイント
　分母の深いところ（下層）から計算する．

答

　解答例を表示する

\[\begin{align*} \frac1{1-\dfrac1{1-\dfrac2{x+1}}}&=\frac1{1-\dfrac1{\dfrac{x-1}{x+1}}}\\[5pt] &=\frac1{1-\dfrac{x+1}{x-1}}\\[5pt] &=\frac1{\dfrac{(x-1)-(x+1)}{x-1}}\\[5pt] &=\frac1{\dfrac{-2}{x-1}}\\[5pt] &=-\frac{x-1}2 \end{align*}\]

2.4　部分分数分解

例題　次を計算せよ．
(1)　$\dfrac1{x(x\!+\!1)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!1)(x\!+\!2)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!2)(x\!+\!3)}$
(2)　$\dfrac1{x(x\!+\!2)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!2)(x\!+\!4)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!4)(x\!+\!6)}$

答

(1)

　解答例を表示する

\[\begin{align*} &\mbox{与式}\\[5pt] &=\!\left(\!\frac1x\!-\!\frac1{x\!+\!1}\!\right)\!+\!\left(\!\frac1{x\!+\!1}\!-\!\frac1{x\!+\!2}\!\right)\!+\!\left(\!\frac1{x\!+\!2}\!-\!\frac1{x\!+\!3}\!\right)\\[5pt] &=\frac1x-\frac1{x+3}\\[5pt] &=\frac{(x+3)-x}{x(x+3)}\\[5pt] &=\frac3{x(x+3)} \end{align*}\]

(2)

　解答例を表示する

\[\begin{align*} &\mbox{与式}\\[5pt] &=\frac12\!\left(\!\frac1x\!-\!\frac1{x\!+\!2}\!\right)\!+\!\frac12\!\left(\!\frac1{x\!+\!2}\!-\!\frac1{x\!+\!4}\!\right)\!+\!\frac12\!\left(\!\frac1{x\!+\!4}\!-\!\frac1{x\!+\!6}\!\right)\\[5pt] &=\frac12\!\left\{\!\left(\!\frac1x\!-\!\frac1{x\!+\!2}\!\right)\!+\!\left(\!\frac1{x\!+\!2}\!-\!\frac1{x\!+\!4}\!\right)\!+\!\left(\!\frac1{x\!+\!4}\!-\!\frac1{x\!+\!6}\!\right)\!\right\}\\[5pt] &=\frac12\left(\frac1x-\frac1{x+6}\right)\\[5pt] &=\frac12\cdot\frac{(x+6)-x}{x(x+6)}\\[5pt] &=\frac6{2x(x+6)}\\[5pt] &=\frac3{x(x+6)} \end{align*}\]

2.5　分数式を含む方程式

例題　方程式 $\dfrac x{x-1}=\dfrac{3x-2}{x^2-x}$ を解け．

ポイント
　 (分母) $\neq0$ を確認する

答

　解答例を表示する

　 (分母)$\neq0$ より \[x-1\neq0\ \mbox{かつ}\ x^2-x=x(x-1)\neq0\] \[\therefore\ x\neq 0,1\ \ \cdots\mbox{①}\] 　このとき，与式の両辺に$x(x-1)$を掛けて， \[x^2=3x-2\] \[x^2-3x+2=0\] \[\therefore\ (x-1)(x-2)=0\] 　従って①より，$\boldsymbol{x=2}$

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