高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第1章 式と証明
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| 1. 整式の除法 | [無料] | |
| 2. 分数式 | [無料] | |
| 3. 恒等式 | [無料] | |
| 4. 等式の証明 | [無料] | |
| 5. 不等式の証明 | [無料] |
2. 分数式
2.1 分数式の計算
$\dfrac{x^2-1}{x+2}$ のような式を分数式という．
計算例
(1) $\dfrac{x^3-1}{x^2+x-2}=\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{x^2+x+1}{x+2}$
(2) $\dfrac1{x^2+x}-\dfrac1{x^2-x-2}$
$=\dfrac1{x(x+1)}-\dfrac1{(x+1)(x-2)}$
$=\dfrac{x-2}{x(x+1)(x-2)}-\dfrac x{x(x+1)(x-2)}$
$=\dfrac{(x-2)-x}{x(x+1)(x-2)}$
$=-\dfrac2{x(x+1)(x-2)}$
これまでの分数計算と同様に，(1)の操作を約分するといい，(2)の操作を通分して計算するという．
整式(単項式と多項式)と分数式をあわせて有理式という．
注意
① 例えば，$\dfrac{x+5}2$ は $\dfrac 12x+\dfrac52$ と書けるから，分数式ではなく整式である．
② 例えば，$\dfrac{x-1}{x^2-1}$ は約分を行って $\dfrac 1{x+1}$ とできるが， \[\frac{x-1}{x^2-1}=\frac 1{x+1}\ \ \cdots(*)\] と書くとき，両辺の $x$ を 1 とおくと，左辺は分母が0となって意味を持たないが，右辺は $\dfrac12$と なり意味を持つ．このように，$(*)$式の等号「$=$」は，$x\neq1$ が前提となっている．
分数式の基本性質 $A$～$D$を整式とする．（ただし$C\neq0,D\neq0$）\begin{align*} &\frac AB=\frac{A\times C}{B\times C}\\ &\frac AB=\frac{A\div D}{B\div D} \end{align*}
分数式の四則\begin{align*} &\frac AC+\frac BC=\frac{A+B}C\\ &\frac AC-\frac BC=\frac{A-B}C\\ &\frac AB\times\frac CD=\frac{AC}{BD}\\ &\frac AB\div\frac CD=\frac AB\times\frac DC=\frac{AD}{BC} \end{align*}
2.2 仮分数式→整式＋真分数式
例題1 関数 $y=\dfrac {2x+3}{x-1}$ $(2\leqq x\leqq 3)$ の値域を求めよ．
ポイント
割り算を行って，
(整式)+(真分数式)
の形にする．
答
$2x+3=(x-1)\times2+5$ より，
\[\begin{align*} y&=\frac{2x+3}{x-1}\\[5pt] &=\frac{2(x-1)+5}{x-1}\\[5pt] &=2+\frac5{x-1} \end{align*}\]
$2\leqq x\leqq 3$ のとき，
\[\frac5{3-1}\leqq\frac5{x-1}\leqq\frac5{2-1}\]
\[\therefore \frac 52\leqq\frac5{x-1}\leqq 5\]
よって求める値域は，
\[2+\frac52\leqq y\leqq 2+5\]
\[\therefore \underline{\boldsymbol{\frac92\leqq y\leqq 7}}\]
例題2 関数 $y=\dfrac {x^2}{x-1}$ $(x > 1)$ の最小値を求めよ．
答
$x^2=(x+1)(x-1)+1$ より，
\[\begin{align*} y&=\frac{x^2}{x-1}\\[5pt] &=\frac{(x+1)(x-1)+1}{x-1}\\[5pt] &=x+1+\frac1{x-1}\\[5pt] &=x\underline{\boldsymbol{-1}}+\frac1{x-1}\ \underline{\boldsymbol{+2}} \end{align*}\]
$x>1$ より $x-1>0$，$\dfrac1{x-1}>0$ であるから，相加・相乗平均の関係により，
\[\begin{align*} y&\geqq2\sqrt{(x-1)\cdot\frac1{x-1}}+2\\[5pt] &=2+2=4 \end{align*}\]
等号成立は，$x-1=\dfrac1{x-1}$，すなわち
\[\begin{align*} (x-1)^2&=1\\[5pt] x-1&=\pm1\\[5pt] x&=1\pm1 \end{align*}\]
$x>1$ より $x=2$
以上により，$\boldsymbol{x=2}$ のとき最小値4をとる．
2.3 繁分数式
例題 次の計算をせよ． \[\dfrac 1{1-\dfrac 1{1-\dfrac 2{x+1}}}\]
ポイント
分母の深いところ（下層）から計算する．
答
\[\begin{align*} \frac1{1-\dfrac1{1-\dfrac2{x+1}}}&=\frac1{1-\dfrac1{\dfrac{x-1}{x+1}}}\\[5pt] &=\frac1{1-\dfrac{x+1}{x-1}}\\[5pt] &=\frac1{\dfrac{(x-1)-(x+1)}{x-1}}\\[5pt] &=\frac1{\dfrac{-2}{x-1}}\\[5pt] &=-\frac{x-1}2 \end{align*}\]
2.4 部分分数分解
例題 次を計算せよ．
(1) $\dfrac1{x(x\!+\!1)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!1)(x\!+\!2)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!2)(x\!+\!3)}$
(2) $\dfrac1{x(x\!+\!2)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!2)(x\!+\!4)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!4)(x\!+\!6)}$
答
(1)
\[\begin{align*} &\mbox{与式}\\[5pt] &=\!\left(\!\frac1x\!-\!\frac1{x\!+\!1}\!\right)\!+\!\left(\!\frac1{x\!+\!1}\!-\!\frac1{x\!+\!2}\!\right)\!+\!\left(\!\frac1{x\!+\!2}\!-\!\frac1{x\!+\!3}\!\right)\\[5pt] &=\frac1x-\frac1{x+3}\\[5pt] &=\frac{(x+3)-x}{x(x+3)}\\[5pt] &=\frac3{x(x+3)} \end{align*}\]
(2)
\[\begin{align*} &\mbox{与式}\\[5pt] &=\frac12\!\left(\!\frac1x\!-\!\frac1{x\!+\!2}\!\right)\!+\!\frac12\!\left(\!\frac1{x\!+\!2}\!-\!\frac1{x\!+\!4}\!\right)\!+\!\frac12\!\left(\!\frac1{x\!+\!4}\!-\!\frac1{x\!+\!6}\!\right)\\[5pt] &=\frac12\!\left\{\!\left(\!\frac1x\!-\!\frac1{x\!+\!2}\!\right)\!+\!\left(\!\frac1{x\!+\!2}\!-\!\frac1{x\!+\!4}\!\right)\!+\!\left(\!\frac1{x\!+\!4}\!-\!\frac1{x\!+\!6}\!\right)\!\right\}\\[5pt] &=\frac12\left(\frac1x-\frac1{x+6}\right)\\[5pt] &=\frac12\cdot\frac{(x+6)-x}{x(x+6)}\\[5pt] &=\frac6{2x(x+6)}\\[5pt] &=\frac3{x(x+6)} \end{align*}\]
2.5 分数式を含む方程式
例題 方程式 $\dfrac x{x-1}=\dfrac{3x-2}{x^2-x}$ を解け．
ポイント
(分母) $\neq0$ を確認する
答 (分母)$\neq0$ より \[x-1\neq0\ \mbox{かつ}\ x^2-x=x(x-1)\neq0\] \[\therefore\ x\neq 0,1\ \ \cdots\mbox{①}\] このとき，与式の両辺に$x(x-1)$を掛けて， \[x^2=3x-2\] \[x^2-3x+2=0\] \[\therefore\ (x-1)(x-2)=0\] 従って①より，$\boldsymbol{x=2}$
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