このページにある内容は,こちらのスライドでわかり易く説明しています.

高校数学ノート

数学Ⅱ 第1章 式と証明

1. 整式の除法 無料      【ノート
2. 分数式 無料        【ノート
3. 恒等式 無料        【ノート
4. 等式の証明 無料      【ノート
5. 不等式の証明 無料     【ノート

2. 分数式

2.1 分数式の計算

注意

① 例えば,$\dfrac{x+5}2$ は $\dfrac 12x+\dfrac52$ と書けるから,分数式ではなく多項式である.
② 例えば,$\dfrac{x-1}{x^2-1}$ は約分を行って $\dfrac 1{x+1}$ とできるが, \[\frac{x-1}{x^2-1}=\frac 1{x+1}\ \ \cdots(*)\] と書くとき,両辺の $x$ を 1 とおくと,左辺は分母が0となって意味を持たないが,右辺は $\dfrac12$と なり意味を持つ.このように,$(*)$式の等号「$=$」は,$x\neq1$ が前提となっている.

分数式の基本性質 $A$~$D$を整式とする.(ただし$C\neq0,D\neq0$)\begin{align*} &\frac AB=\frac{A\times C}{B\times C}\\ &\frac AB=\frac{A\div D}{B\div D} \end{align*}

分数式の四則\begin{align*} &\frac AC+\frac BC=\frac{A+B}C\\ &\frac AC-\frac BC=\frac{A-B}C\\ &\frac AB\times\frac CD=\frac{AC}{BD}\\ &\frac AB\div\frac CD=\frac AB\times\frac DC=\frac{AD}{BC} \end{align*}

2.2 仮分数式→整式+真分数式

例1 関数 $y=\dfrac {2x+3}{x-1}$ $(2\leqq x\leqq 3)$ の値域を求めよ.

ポイント
割り算を行って,
  (整式)+(真分数式)
の形にする.

例2 関数 $y=\dfrac {x^2}{x-1}$ $(x > 1)$ の最小値を求めよ.

2.3 繁分数式

 次の計算をせよ. \[\dfrac 1{1-\dfrac 1{1-\dfrac 2{x+1}}}\]

ポイント
分母の深いところ(下層)から計算する.

2.4 部分分数分解

 次を計算せよ.
(1) $\dfrac1{x(x\!+\!1)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!1)(x\!+\!2)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!2)(x\!+\!3)}$
(2) $\dfrac1{x(x\!+\!2)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!2)(x\!+\!4)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!4)(x\!+\!6)}$

2.5 分数式を含む方程式

 方程式 $\dfrac x{x-1}=\dfrac{3x-2}{x^2-x}$ を解け.

ポイント
(分母) $\neq0$ を確認する

  (分母)$\neq0$ より \[x-1\neq0\ \mbox{かつ}\ x^2-x=x(x-1)\neq0\] \[\therefore\ x\neq 0,1\ \ \cdots\mbox{①}\]  このとき,与式の両辺に$x(x-1)$を掛けて, \[x^2=3x-2\] \[x^2-3x+2=0\] \[\therefore\ (x-1)(x-2)=0\]  従って①より,$\boldsymbol{x=2}$


高校数学ノート

数学Ⅱ 第1章 式と証明

1. 整式の除法 無料      【ノート
2. 分数式 無料        【ノート
3. 恒等式 無料        【ノート
4. 等式の証明 無料      【ノート
5. 不等式の証明 無料     【ノート