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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第1章 式と証明

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1. 整式の除法 [無料]  
2. 分数式 [無料]  
3. 恒等式 [無料]  
4. 等式の証明 [無料]  
5. 不等式の証明 [無料]  

2. 分数式

2.1 分数式の計算

 $\dfrac{x^2-1}{x+2}$ のような式を分数式という.

計算例

(1) $\dfrac{x^3-1}{x^2+x-2}=\dfrac{(x-1)(x^2+x+1)}{(x-1)(x+2)}=\dfrac{x^2+x+1}{x+2}$

(2) $\dfrac1{x^2+x}-\dfrac1{x^2-x-2}$
     $=\dfrac1{x(x+1)}-\dfrac1{(x+1)(x-2)}$
     $=\dfrac{x-2}{x(x+1)(x-2)}-\dfrac x{x(x+1)(x-2)}$
     $=\dfrac{(x-2)-x}{x(x+1)(x-2)}$
     $=-\dfrac2{x(x+1)(x-2)}$

 これまでの分数計算と同様に,(1)の操作を約分するといい,(2)の操作を通分して計算するという.

 整式(単項式と多項式)と分数式をあわせて有理式という.

注意

① 例えば,$\dfrac{x+5}2$ は $\dfrac 12x+\dfrac52$ と書けるから,分数式ではなく多項式である.
② 例えば,$\dfrac{x-1}{x^2-1}$ は約分を行って $\dfrac 1{x+1}$ とできるが, \[\frac{x-1}{x^2-1}=\frac 1{x+1}\ \ \cdots(*)\] と書くとき,両辺の $x$ を 1 とおくと,左辺は分母が0となって意味を持たないが,右辺は $\dfrac12$と なり意味を持つ.このように,$(*)$式の等号「$=$」は,$x\neq1$ が前提となっている.

分数式の基本性質 $A$~$D$を整式とする.(ただし$C\neq0,D\neq0$)\begin{align*} &\frac AB=\frac{A\times C}{B\times C}\\ &\frac AB=\frac{A\div D}{B\div D} \end{align*}

分数式の四則\begin{align*} &\frac AC+\frac BC=\frac{A+B}C\\ &\frac AC-\frac BC=\frac{A-B}C\\ &\frac AB\times\frac CD=\frac{AC}{BD}\\ &\frac AB\div\frac CD=\frac AB\times\frac DC=\frac{AD}{BC} \end{align*}

2.2 仮分数式→整式+真分数式

例題1 関数 $y=\dfrac {2x+3}{x-1}$ $(2\leqq x\leqq 3)$ の値域を求めよ.

ポイント
割り算を行って,
  (整式)+(真分数式)
の形にする.

 $2x+3=(x-1)\times2+5$ より,

\[\begin{align*} y&=\frac{2x+3}{x-1}\\[5pt] &=\frac{2(x-1)+5}{x-1}\\[5pt] &=2+\frac5{x-1} \end{align*}\]

 $2\leqq x\leqq 3$ のとき,

\[\frac5{3-1}\leqq\frac5{x-1}\leqq\frac5{2-1}\]

\[\therefore \frac 52\leqq\frac5{x-1}\leqq 5\]

 よって求める値域は,

\[2+\frac52\leqq y\leqq 2+5\]

\[\therefore \underline{\boldsymbol{\frac92\leqq y\leqq 7}}\]

例題2 関数 $y=\dfrac {x^2}{x-1}$ $(x > 1)$ の最小値を求めよ.

 $x^2=(x+1)(x-1)+1$ より,

\[\begin{align*} y&=\frac{x^2}{x-1}\\[5pt] &=\frac{(x+1)(x-1)+1}{x-1}\\[5pt] &=x+1+\frac1{x-1}\\[5pt] &=x\underline{\boldsymbol{-1}}+\frac1{x-1}\ \underline{\boldsymbol{+2}} \end{align*}\]

 $x>1$ より $x-1>0$,$\dfrac1{x-1}>0$ であるから,相加・相乗平均の関係により,

\[\begin{align*} y&\geqq2\sqrt{(x-1)\cdot\frac1{x-1}}+2\\[5pt] &=2+2=4 \end{align*}\]

 等号成立は,$x-1=\dfrac1{x-1}$,すなわち

\[\begin{align*} (x-1)^2&=1\\[5pt] x-1&=\pm1\\[5pt] x&=1\pm1 \end{align*}\]

 $x>1$ より $x=2$

 以上により,$\boldsymbol{x=2}$ のとき最小値4をとる.

2.3 繁分数式

例題 次の計算をせよ. \[\dfrac 1{1-\dfrac 1{1-\dfrac 2{x+1}}}\]

ポイント
分母の深いところ(下層)から計算する.

\[\begin{align*} \frac1{1-\dfrac1{1-\dfrac2{x+1}}}&=\frac1{1-\dfrac1{\dfrac{x-1}{x+1}}}\\[5pt] &=\frac1{1-\dfrac{x+1}{x-1}}\\[5pt] &=\frac1{\dfrac{(x-1)-(x+1)}{x-1}}\\[5pt] &=\frac1{\dfrac{-2}{x-1}}\\[5pt] &=-\frac{x-1}2 \end{align*}\]

2.4 部分分数分解

例題 次を計算せよ.
(1) $\dfrac1{x(x\!+\!1)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!1)(x\!+\!2)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!2)(x\!+\!3)}$
(2) $\dfrac1{x(x\!+\!2)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!2)(x\!+\!4)}\!+\!\dfrac1{(x\!+\!4)(x\!+\!6)}$

(1)

\[\begin{align*} &\mbox{与式}\\[5pt] &=\!\left(\!\frac1x\!-\!\frac1{x\!+\!1}\!\right)\!+\!\left(\!\frac1{x\!+\!1}\!-\!\frac1{x\!+\!2}\!\right)\!+\!\left(\!\frac1{x\!+\!2}\!-\!\frac1{x\!+\!3}\!\right)\\[5pt] &=\frac1x-\frac1{x+3}\\[5pt] &=\frac{(x+3)-x}{x(x+3)}\\[5pt] &=\frac3{x(x+3)} \end{align*}\]

(2)

\[\begin{align*} &\mbox{与式}\\[5pt] &=\frac12\!\left(\!\frac1x\!-\!\frac1{x\!+\!2}\!\right)\!+\!\frac12\!\left(\!\frac1{x\!+\!2}\!-\!\frac1{x\!+\!4}\!\right)\!+\!\frac12\!\left(\!\frac1{x\!+\!4}\!-\!\frac1{x\!+\!6}\!\right)\\[5pt] &=\frac12\!\left\{\!\left(\!\frac1x\!-\!\frac1{x\!+\!2}\!\right)\!+\!\left(\!\frac1{x\!+\!2}\!-\!\frac1{x\!+\!4}\!\right)\!+\!\left(\!\frac1{x\!+\!4}\!-\!\frac1{x\!+\!6}\!\right)\!\right\}\\[5pt] &=\frac12\left(\frac1x-\frac1{x+6}\right)\\[5pt] &=\frac12\cdot\frac{(x+6)-x}{x(x+6)}\\[5pt] &=\frac6{2x(x+6)}\\[5pt] &=\frac3{x(x+6)} \end{align*}\]

2.5 分数式を含む方程式

例題 方程式 $\dfrac x{x-1}=\dfrac{3x-2}{x^2-x}$ を解け.

ポイント
(分母) $\neq0$ を確認する

  (分母)$\neq0$ より \[x-1\neq0\ \mbox{かつ}\ x^2-x=x(x-1)\neq0\] \[\therefore\ x\neq 0,1\ \ \cdots\mbox{①}\]  このとき,与式の両辺に$x(x-1)$を掛けて, \[x^2=3x-2\] \[x^2-3x+2=0\] \[\therefore\ (x-1)(x-2)=0\]  従って①より,$\boldsymbol{x=2}$


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