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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅰ 第1章 2次関数

スライド↓       ノート↓
1. 2次関数のグラフ 無料     【ノート
2. 関数のグラフの移動 無料     【ノート
3. 2次関数の最大・最小 無料   【ノート
4. 2次関数の決定 無料      【ノート
5. 2次関数のグラフと方程式 無料 【ノート
6. 2次不等式とグラフ 無料    【ノート
7. 2次方程式の解の配置 無料   【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

7. 2次方程式の解の配置

7.1 2次方程式の解の配置

 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ (ただし $a>0$)の左辺を $f(x)$,判別式を $D$ とする.この2次方程式の2解について,次のような場合の条件を考える:

[1] ともに $p$ より大きい

    ① (軸)$>p$
    ② $D\geqq 0$
    ③ $f(p)>0$

[2] ともに $p$ より大きく $q$ 未満

    ① $p<$(軸)$< q$
    ② $D\geqq 0$
    ③ $f(p)>0$
    ④ $f(q)>0$

[3] 一方が $p$ より大きく,他方が $p$ 未満

    ① $f(p)< 0$

よくある質問

Q. [3]で $\boldsymbol{D>0}$ の条件は必要ないのですか?

A. 必要ない.
 何故というに, \[f(x)\!=ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!a\left(x\!+\!\frac b{2a}\right)^2\!-\!\frac D{4a}\] \[(\mbox{ただし,}D=b^2-4ac)\] であり,$a>0$ に注意すると $f(x)$ の最小値は $-\dfrac D{4a}$ となるが, \[\begin{align*} f(p)<0 &\Rightarrow f(x)\mbox{の最小値}< 0\\[5pt] &\Rightarrow -\frac D{4a}< 0\\[5pt] &\Rightarrow D>0 \ \ (\because a>0) \end{align*}\] となり,$f(p)< 0$ から自然に $D>0$ が満たされるからである.


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数学Ⅰ 第1章 2次関数

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1. 2次関数のグラフ 無料     【ノート
2. 関数のグラフの移動 無料     【ノート
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7. 2次方程式の解の配置 無料   【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.