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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅰ 第1章 2次関数

  スライド ノート
1. 2次関数のグラフ [無料]  
2. 関数のグラフの移動 [無料]  
3. 2次関数の最大・最小 [無料]  
4. 2次関数の決定 [無料]  
5. 2次関数のグラフと方程式 [無料]  
6. 2次不等式とグラフ [無料]  
7. 2次方程式の解の配置 [無料]  

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

7. 2次方程式の解の配置

7.1 2次方程式の解の配置

 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ (ただし $a>0$)の左辺を $f(x)$,判別式を $D$ とする.この2次方程式の2解について,次のような場合の条件を考える:

[1] ともに $p$ より大きい

    ① (軸)$>p$
    ② $D\geqq 0$
    ③ $f(p)>0$

[2] ともに $p$ より大きく $q$ 未満

    ① $p<$(軸)$< q$
    ② $D\geqq 0$
    ③ $f(p)>0$
    ④ $f(q)>0$

[3] 一方が $p$ より大きく,他方が $p$ 未満

    ① $f(p)< 0$

よくある質問

Q. [3]で $\boldsymbol{D>0}$ の条件は必要ないのですか?

A. 必要ない.
 何故というに, \[f(x)\!=ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!a\left(x\!+\!\frac b{2a}\right)^2\!-\!\frac D{4a}\] \[(\mbox{ただし,}D=b^2-4ac)\] であり,$a>0$ に注意すると $f(x)$ の最小値は $-\dfrac D{4a}$ となるが, \[\begin{align*} f(p)<0 &\Rightarrow f(x)\mbox{の最小値}< 0\\[5pt] &\Rightarrow -\frac D{4a}< 0\\[5pt] &\Rightarrow D>0 \ \ (\because a>0) \end{align*}\] となり,$f(p)< 0$ から自然に $D>0$ が満たされるからである.


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