7. 2次方程式の解の配置(ノート)
スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅰ　第1章　2次関数

	スライド	ノート
1. 2次関数のグラフ	[無料]
2. 関数のグラフの移動	[無料]
3. 2次関数の最大・最小	[無料]
4. 2次関数の決定	[無料]
5. 2次関数のグラフと方程式	[無料]
6. 2次不等式とグラフ	[無料]
7. 2次方程式の解の配置	[無料]

7.　2次方程式の解の配置

7.1　2次方程式の解の配置

　2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ (ただし $a>0$)の左辺を $f(x)$，判別式を $D$ とする．この2次方程式の2解について，次のような場合の条件を考える：

[1]　ともに $p$ より大きい

　　　　①　(軸)$>p$
　　　　②　$D\geqq 0$
　　　　③　$f(p)>0$

[2]　ともに $p$ より大きく $q$ 未満

　　　　①　$p<$(軸)$< q$
　　　　②　$D\geqq 0$
　　　　③　$f(p)>0$
　　　　④　$f(q)>0$

[3]　一方が $p$ より大きく，他方が $p$ 未満

　　　　①　$f(p)< 0$

よくある質問

Q.　[3]で $\boldsymbol{D>0}$ の条件は必要ないのですか？

A.　必要ない．
　どうしてかといえば，

\[f(x)\!=ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!a\left(x\!+\!\frac b{2a}\right)^2\!-\!\frac D{4a}\]

\[(\mbox{ただし，}D=b^2-4ac)\]

であり，$a>0$ に注意すると $f(x)$ の最小値は $-\dfrac D{4a}$ となるが，

\[\begin{align*} f(p)<0 &\Rightarrow f(x)\mbox{の最小値}< 0\\[5pt] &\Rightarrow -\frac D{4a}< 0\\[5pt] &\Rightarrow D>0 \ \ (\because a>0) \end{align*}\]

となり，$f(p)< 0$ から自然に $D>0$ が従うからである．

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