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数学Ⅰ 第1章 2次関数
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1. 2次関数のグラフ | [無料] | |
2. 関数のグラフの移動 | [無料] | |
3. 2次関数の最大・最小 | [無料] | |
4. 2次関数の決定 | [無料] | |
5. 2次関数のグラフと方程式 | [無料] | |
6. 2次不等式とグラフ | [無料] | |
7. 2次方程式の解の配置 | [無料] |

7. 2次方程式の解の配置
7.1 2次方程式の解の配置
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ (ただし $a>0$)の左辺を $f(x)$,判別式を $D$ とする.この2次方程式の2解について,次のような場合の条件を考える:
[1] ともに $p$ より大きい

① (軸)$>p$
② $D\geqq 0$
③ $f(p)>0$
[2] ともに $p$ より大きく $q$ 未満

① $p<$(軸)$< q$
② $D\geqq 0$
③ $f(p)>0$
④ $f(q)>0$
[3] 一方が $p$ より大きく,他方が $p$ 未満

① $f(p)< 0$
よくある質問
Q. [3]で $\boldsymbol{D>0}$ の条件は必要ないのですか?
A. 必要ない.
どうしてかといえば,
\[f(x)\!=ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!a\left(x\!+\!\frac b{2a}\right)^2\!-\!\frac D{4a}\]
\[(\mbox{ただし,}D=b^2-4ac)\]
であり,$a>0$ に注意すると $f(x)$ の最小値は $-\dfrac D{4a}$ となるが,
\[\begin{align*} f(p)<0 &\Rightarrow f(x)\mbox{の最小値}< 0\\[5pt] &\Rightarrow -\frac D{4a}< 0\\[5pt] &\Rightarrow D>0 \ \ (\because a>0) \end{align*}\]
となり,$f(p)< 0$ から自然に $D>0$ が従うからである.

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