高校数学[総目次]
数学Ⅰ 第1章 2次関数
| スライド | ノート | |
| 1. 2次関数のグラフ | [無料] | |
| 2. 関数のグラフの移動 | [無料] | |
| 3. 2次関数の最大・最小 | [無料] | |
| 4. 2次関数の決定 | [無料] | |
| 5. 2次関数のグラフと方程式 | [無料] | |
| 6. 2次不等式とグラフ | [無料] | |
| 7. 2次方程式の解の配置 | [無料] |
1. 2次関数のグラフ
1.1 $y=ax^2$ のグラフ
$a>0$ のとき
① $y=x^2$
② $y=2x^2$
③ $y=\dfrac12x^2$
$a<0$ のとき
① $y=-x^2$
② $y=2x^2$
③ $y=-\dfrac12x^2$
1.2 $y=ax^2+q$ のグラフ
放物線 $y=ax^2\ \ \cdots$ ①上の任意の点を $(x,y)$ とし，この点を $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した点を $(X,Y)$ とする：
$(x,y)$ と $(X,Y)$ の関係は，
\[\left\{ \begin{array}{l} X=x\\[5pt] Y=y+q \end{array}\right.\ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=X\\[5pt] y=Y-q \end{array}\right.\]
これらを①に代入すると，$X$ と $Y$ の関係式が得られる：
\[Y-q=aX^2\]
\[\therefore Y=aX^2+q\ \ (y=ax^2+q)\]
従って次が成り立つ：
$y=ax^2+q$ のグラフ
2次関数 $y=ax^2+q$ のグラフは，$y=ax^2$ のグラフを $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものとなる．
1.3 $y=a(x-p)^2$ のグラフ
放物線 $y=ax^2\ \ \cdots$ ①上の任意の点を $(x,y)$ とし，この点を $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動した点を $(X,Y)$ とする：
$(x,y)$ と $(X,Y)$ の関係は，
\[\left\{ \begin{array}{l} X=x+p\\[5pt] Y=y \end{array}\right.\ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=X-p\\[5pt] y=Y \end{array}\right.\]
これらを①に代入すると，$X$ と $Y$ の関係式が得られる：
\[Y=a(X-p)^2\ \ (y=a(x-p)^2)\]
従って次が成り立つ：
$y=a(x-p)^2$ のグラフ 2次関数 $y=a(x-p)^2$ のグラフは，$y=ax^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動したものとなる．
1.4 $y\!=\!a(x\!-\!p)^2\!+\!q$ のグラフ
放物線 $y=ax^2\ \ \cdots$ ①上の任意の点を $(x,y)$ とし，この点を
$x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$
だけ平行移動した点を $(X,Y)$ とする：
$(x,y)$ と $(X,Y)$ の関係は，
\[\left\{ \begin{array}{l} X=x+p\\[5pt] Y=y+q \end{array}\right.\ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=X-p\\[5pt] y=Y-q \end{array}\right.\]
これらを①に代入すると，$X$ と $Y$ の関係式が得られる：
\[Y-q=a(X-p)^2\]
\[\therefore Y=a(X-p)^2+q\ \ (y=a(x-p)^2+q)\]
従って次が成り立つ：
$y=a(x-p)^2+q$ のグラフ 2次関数 $y=a(x-p)^2+q$ のグラフは，$y=ax^2$ のグラフを\[x\mbox{ 軸方向に }p,\ y\mbox{ 軸方向に }q\]だけ平行移動したものとなる．このとき，\[\mbox{軸：直線 }x=p,\ \mbox{頂点 }(p,q)\]
1.5 $y\!=\!ax^2\!+\!bx\!+\!c$ のグラフ
ポイント 変形して $\boldsymbol{y=a(x-p)^2+q}$ の形にする．
補足
$ax^2+bx+c$ を $a(x-p)^2+q$ の形に変形することを平方完成するという．
例題 放物線 $y\!=\!-3x^2\!+\!6x\!+\!4$ の軸と頂点の座標を求めよ．
答
\[\begin{align*} y&=-3(x^2-2x)+4\\[5pt] &=-3\{(x-1)^2-1\}+4\\[5pt] &=-3(x-1)^2+3+4\\[5pt] &=-3(x-1)^2+7 \end{align*}\] よって，軸は直線 $\boldsymbol{x=1}$，頂点の座標は $\boldsymbol{(1,7)}$
次は，2．関数のグラフの移動
高校数学[総目次]
数学Ⅰ 第1章 2次関数
| スライド | ノート | |
| 1. 2次関数のグラフ | [無料] | |
| 2. 関数のグラフの移動 | [無料] | |
| 3. 2次関数の最大・最小 | [無料] | |
| 4. 2次関数の決定 | [無料] | |
| 5. 2次関数のグラフと方程式 | [無料] | |
| 6. 2次不等式とグラフ | [無料] | |
| 7. 2次方程式の解の配置 | [無料] |