1. 2次関数のグラフ(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅰ　第1章　2次関数

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1.　2次関数のグラフ

2次関数は高校数学の根幹をなす

　中学校で「$y$ が $x$ の関数で，$y=ax^2(a\neq0)$ の形で表されるとき，$y$ は $x^2$ に比例する」という形で2次関数を学んだ．これによって考察の対象が，これまで例えば「毎分70mで $x$ 分歩くときの距離」とか，「5Lの水が入った水槽に毎分2Lで $x$ 分間水を入れたときの水槽の中の水の量」といった直線的な関係を表すものに限定されてきたものが，「相似比が $1:x$ の2つの三角形の面積比」や「高さ2mのところから自由落下させたときの $t$ 秒後の移動量」といった曲線的な関係を表すものにまで拡張することができた．高校の数学Ⅰではこれをさらに発展させる．最終形は $y=ax^2+bx+c$ であり，ゴールまでのアウトラインは次のようになる．

　「$y=ax^2+bx+c$ が最終形ならば，緑色の矢印の向きが逆なのでは？」と思うかもしれない．確かに学習する順番の最後が $y=ax^2+bx+c$ なのでこれを最終形と呼んだが，このグラフを描こうとすると $y=a(x-p)^2+q$ の形にしなければならない．その意味で緑色の矢印を上向きにしておいた．

　2次関数は高等学校のごく初期に学ぶ分野であるが，その内容は他の分野の応用にもたびたび顔を出すほど重要なもので，特に最大値・最小値を考えさせる問題では結局のところ2次関数の理論に帰着させることが多い．もちろん大学入試においても最重要の分野である．

1.1　$y=ax^2$ のグラフ

(復習) $y=ax^2$ のグラフはどのようなものだったか

　まずは中学校で習った関数 $y=ax^2$ の復習から始めよう．まずは $a$ が正の場合と負の場合に大きく分けられる．いくつかの例で，グラフの形状や特徴を確認しよう．

$a>0$ のとき

例題1　次の2次関数のグラフをかけ
①　$y=x^2$
②　$y=2x^2$
③　$y=\dfrac12x^2$

　$x$ の値が $-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$ の場合を計算して座標平面上にとり，滑らかに連結することでグラフを描いてみよう．

こたえ

①　$y=x^2$

②　$y=2x^2$

③　$y=\dfrac12x^2$

　これら3つのグラフは次のようになる：

　これらのグラフは放物線と呼ばれている．いずれも軸が直線 $x=0$ すなわち $y$ 軸で，グラフと軸との交点である原点 $(0,\ 0)$ を，これらの放物線の頂点という．また，これらのように下にとがった曲線を下に凸(とつ)という．$a$ の値が大きくなるにつれて，グラフがスリムになっていくことが見て取れる．

$a<0$ のとき

例題2　次の2次関数のグラフをかけ
①　$y=-x^2$
②　$y=-2x^2$
③　$y=-\dfrac12x^2$

　$a>0$ の場合と同じように $x$ が整数であるいくつかの値を計算し，グラフを描いてみよう．

こたえ

①　$y=-x^2$

②　$y=-2x^2$

③　$y=-\dfrac12x^2$

　これらのグラフは次のようになる．

　これらのグラフも放物線である．軸が直線 $x=0$ すなわち $y$ 軸であることや，グラフと軸との交点である原点 $(0,\ 0)$ がこれらの放物線の頂点であることも $a>0$ の場合と同様である．大きく異なるのはグラフの形状で，$a>0$ の場合ととがっている向きがが逆になっている．このような曲線を上に凸という．$a$ の値が小さくなるにつれて( $a$ の絶対値が大きくなるにつれて)，グラフがスリムになっていくことが見て取れる．

$y=ax^2$ のグラフは $a$ の値によってどう変化するか

　$y=ax^2$ の $a$ の値を変化させていったときのグラフの様子を，下のアニメーションで確認しておこう．

$y=ax^2$ のグラフは $y$ 軸対称

　関数 $y=ax^2$ のグラフの特徴の1つとして，$y$ 軸に関して対称であるということが挙げられる．直線 $x=0$ ($y$ 軸) をこの放物線の軸という．また，放物線と軸が交わる点をこの放物線の頂点という．放物線 $y=ax^2$ の頂点は原点 $(0,\ 0)$ である．

1.2　$y=ax^2+q$ のグラフ

$y=ax^2$ に「$+q$」が追加されるとグラフはどうなるか

例　$y=x^2+2$ のグラフは $y=x^2$ のそれと比べてどう違うか．

　この関数について，$x$ の値からスタートして $y$ の値が決まる手順は次の通りである：

\[x\ \to\ x^2\ \to\ x^2+2\ \to\ y\]

　$x$ の値が $-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$ のときの $y$ の値を調べてみると次のようになる．

　　$x=-2$ → $(-2)^2=4$ → $4$＋２$=6$ → $y$
　　$x=-1$ → $(-1)^2=1$ → $1$＋２$=3$ → $y$
　　$x=0$　→　　$0^2=0$ → $0$＋２$=2$ → $y$
　　$x=1$　→　　$1^2=1$ → $1$＋２$=3$ → $y$
　　$x=2$　→　　$2^2=4$ → $4$＋２$=6$ → $y$

　ここで $y=x^2+2$ と $y=x^2$ の関係を探ってみよう．上の考察から

$y=x^2+2$ の $x=X$ のときの値は， $y=x^2$ の $x=X$ のときの値より２だけ大きい

ことがわかる．これを言い換えると

放物線 $y=x^2+2$ の $x=X$ のときの $y$ 座標は，放物線 $y=x^2$ の $x=X$ のときの $y$ 座標より２だけ大きい

ということがいえる．図で表すと次のようになる：

　いま，$x$ の値のいくつかについて見てきたが，これを全ての $x$ について隙間なく調べてみると次のようになり，これが $y=x^2+2$ のグラフである．

　つまり $y=x^2+2$ のグラフは $y=x^2$ のグラフを $y$ 軸方向に2だけ平行移動したものとなっている．

それでは一般論

　一般に，放物線 $y=ax^2\ \ \cdots$ ①上の任意の点を $(x,y)$ とし，この点を $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した点を $(X,Y)$ とする：

　$(x,y)$ と $(X,Y)$ の関係は，

\[\left\{ \begin{array}{l} X=x\\[5pt] Y=y+q \end{array}\right.\ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=X\\[5pt] y=Y-q \end{array}\right.\]

　これらを①に代入すると，$X$ と $Y$ の関係式が得られる：

\[Y-q=aX^2\]

\[\therefore Y=aX^2+q\]

　これは点$(X,\ Y)$ が，$y=ax^2+q$ のグラフ上にあることを意味する．従って次が成り立つ：

　この移動に伴って，2次関数 $y=ax^2+q$ のグラフの頂点は点 $(0,q)$ に移動する．一方，グラフの軸は $y$ 軸のまま変化しない．

1.3　$y=a(x-p)^2$ のグラフ

$y=ax^2$ の $x$ が $x-p$ に変わるとグラフはどうなるか

例　$y=(x-1)^2$ のグラフは $y=x^2$ のそれと比べてどう違うか．

　この関数について，$x$ の値からスタートして $y$ の値が決まる手順は次の通りである：

\[x\ \to\ x-1\ \to\ (x-1)^2\ \to\ y\]

　$x$ の値が $-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3$ のときの $y$ の値を調べてみると次のようになる．

　　$x=-1$ → $-1$－１$=-2$ → $(-2)^2=4$ → $y$
　　$x=0$　→　$0$－１$=-1$ → $(-1)^2=1$ → $y$
　　$x=1$　→　$1$－１$=\ \ 0\ $ →　　$0^2=0$ → $y$
　　$x=2$　→　$2$－１$=\ \ 1\ $ →　　$1^2=1$ → $y$
　　$x=3$　→　$3$－１$=\ \ 2\ $ →　　$2^2=4$ → $y$

　ここで $y=(x-1)^2$ と $y=x^2$ の関係を探ってみると，上の具体例の考察から

$x$ のある値 $X$ に対する $(x-1)^2$ の値は， $x $ が $X-1$ のときの $y=x^2$ の値と等しい

ことがわかる．これを言い換えると

放物線 $y=(x-1)^2$ の $x=X$ のときの $y$ 座標は，放物線 $y=x^2$ の $x=X-1$ のときの $y$ 座標と等しい

ということがいえる．図に表すと次のようになる：

　この図を見ると，$x$ の各値に対して「$x-1$」というのは1だけ左側の値を指しており，そこにおける $x^2$ の値が右側へスライドしたものが $y=(x-1)^2$ の $y$ の値であることがわかる．

　いま，$x$ の値のいくつかについて見てきたが，これを全ての $x$ について隙間なく調べてみると次のようになり，これが $y=(x-1)^2$ のグラフである．

　つまり $y=(x-1)^2$ のグラフは $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に1だけ平行移動したものとなっているのである．

それでは一般論

　放物線 $y=ax^2\ \ \cdots$ ①上の任意の点を $(x,y)$ とし，この点を $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動した点を $(X,Y)$ とする：

　$(x,y)$ と $(X,Y)$ の関係は，

\[\left\{ \begin{array}{l} X=x+p\\[5pt] Y=y \end{array}\right.\ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=X-p\\[5pt] y=Y \end{array}\right.\]

　これらを①に代入すると，$X$ と $Y$ の関係式が得られる：

\[Y=a(X-p)^2\]

　これは点 $(X,\ Y)$ が $y=a(x-p)^2$ のグラフ上にあることを意味する．従って次が成り立つ：

　この移動に伴って，2次関数 $y=a(x-p)^2$ のグラフの軸は直線 $x=p$ に移動し，頂点も点 $(p,\ 0)$ に移動する．

1.4　$y\!=\!a(x\!-\!p)^2\!+\!q$ のグラフ

前2節の変化が両方起こったとき，グラフはどうなるか

　1.2節と1.3節で $y$ 軸方向と $x$ 軸方向の平行移動の式を導いたが，それをミックスしたものがこの節で扱う $y=a(x-p)^2+q$ の形で，これが2次関数の変形の最終形となる．

　放物線 $y=ax^2\ \ \cdots$ ①上の任意の点を $(x,y)$ とし，この点を

$x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$

だけ平行移動した点を $(X,Y)$ とする：

　$(x,y)$ と $(X,Y)$ の関係は，

\[\left\{ \begin{array}{l} X=x+p\\[5pt] Y=y+q \end{array}\right.\ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=X-p\\[5pt] y=Y-q \end{array}\right.\]

　点 $(x,\ y)$ は放物線①上の点だから代入すると，$X$ と $Y$ の関係式が得られる：

\[Y-q=a(X-p)^2\]

\[\therefore Y=a(X-p)^2+q\ \ (y=a(x-p)^2+q)\]

　従って次が成り立つ：

1.5　$y\!=\!ax^2\!+\!bx\!+\!c$ のグラフ

$y=ax^2+bx+c$ は結局 $y=a(x-p)^2+q$ に帰着させる

　どのような2次関数も $y=ax^2+bx+c$ の形で表せるが，この形のままだとグラフをかくことは難しい．1.4節で学んだ $y=a(x-p)^2+q$ の形になってこそ，このグラフの状況を詳しくとらえることができるのである．

ポイント　変形して $\boldsymbol{y=a(x-p)^2+q}$ の形にする．

補足

　$ax^2+bx+c$ を $a(x-p)^2+q$ の形に変形することを平方完成するという．演習問題 に平方完成のやり方を示したアニメーションを用意した．

例題　放物線 $y\!=\!-3x^2\!+\!6x\!+\!4$ の軸と頂点の座標を求め，グラフをかけ．

答

　解答例を表示する

\[\begin{align*} y&=-3(x^2-2x)+4\\[5pt] &=-3\{(x-1)^2-1\}+4\\[5pt] &=-3(x-1)^2+3+4\\[5pt] &=-3(x-1)^2+7 \end{align*}\] 　よって，軸は直線 $\boldsymbol{x=1}$，頂点の座標は $\boldsymbol{(1,7)}$
　またグラフは次のようになる：

このあとは演習問題 で理解を確認！

次は，2．関数のグラフの移動

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