1. 2次関数のグラフ(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅰ　第1章　2次関数

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1.　2次関数のグラフ

2次関数は高校数学の根幹をなす

　中学校で「$y$ が $x$ の関数で，$y=ax^2(a\neq0)$ の形で表されるとき，$y$ は $x^2$ に比例する」という形で2次関数を学んだ．これによって考察の対象が，これまで例えば「毎分70mで $x$ 分歩くときの距離」とか，「5Lの水が入った水槽に毎分2Lで $x$ 分間水を入れたときの水槽の中の水の量」といった直線的な関係を表すものに限定されてきたものが，「相似比が $1:x$ の2つの三角形の面積比」や「高さ2mのところから自由落下させたときの $t$ 秒後の移動量」といった曲線的な関係を表すものにまで拡張することができた．高校の数学Ⅰではこれをさらに発展させる．いくつかの基本形のグラフを説明したのち，一般の2次関数 $y=ax^2+bx+c$ とそのグラフを取り扱う．

　2次関数は高等学校のごく初期に学ぶ分野であるが，その内容は他の分野の応用にもたびたび顔を出すほど重要なもので，特に最大値・最小値を考えさせる問題では結局のところ2次関数の理論に帰着させることが多い．もちろん大学入試においても最重要の分野である．

1.1　$y=ax^2$ のグラフ

$y=ax^2$ のグラフはどのようなものだったか

　まずは中学校で習った関数 $y=ax^2$ の復習から始めよう．

$a>0$ のとき

①　$y=x^2$

②　$y=2x^2$

③　$y=\dfrac12x^2$

$a<0$ のとき

①　$y=-x^2$

②　$y=2x^2$

③　$y=-\dfrac12x^2$

$y=ax^2$ のグラフは $a$ の値によってどう変化するか

　$y=ax^2$ の $a$ の値を変化させていったときのグラフの様子が下のアニメーションである．

$y=ax^2$ のグラフは $y$ 軸対称

　関数 $y=ax^2$ のグラフは $y$ 軸に関して対称である．直線 $x=0$ ($y$ 軸) をこの放物線の軸という．また，放物線と軸が交わる点をこの放物線の頂点という．放物線 $y=ax^2$ の頂点は原点 $(0,0)$ である．

1.2　$y=ax^2+q$ のグラフ

$y=ax^2$ に「$+q$」が追加されるとグラフはどうなるか

　次に，前節で復習した $y=ax^2$ のグラフを $y$ 軸方向に$q$ だけ平行移動したときの式を考えよう．

　放物線 $y=ax^2\ \ \cdots$ ①上の任意の点を $(x,y)$ とし，この点を $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した点を $(X,Y)$ とする：

　$(x,y)$ と $(X,Y)$ の関係は，

\[\left\{ \begin{array}{l} X=x\\[5pt] Y=y+q \end{array}\right.\ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=X\\[5pt] y=Y-q \end{array}\right.\]

　これらを①に代入すると，$X$ と $Y$ の関係式が得られる：

\[Y-q=aX^2\]

\[\therefore Y=aX^2+q\ \ (y=ax^2+q)\]

　従って次が成り立つ：

　この移動によって，2次関数 $y=ax^2+q$ のグラフの軸は $y$ 軸のまま変化しないが，頂点は点 $(0,q)$ に移動する．

1.3　$y=a(x-p)^2$ のグラフ

$y=ax^2$ の $x$ が $x-p$ に変わるとグラフはどうなるか

　続いて，1.1節で復習した $y=ax^2$ のグラフを $x$ 軸方向に$p$ だけ平行移動したときの式を考えよう．

　放物線 $y=ax^2\ \ \cdots$ ①上の任意の点を $(x,y)$ とし，この点を $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動した点を $(X,Y)$ とする：

　$(x,y)$ と $(X,Y)$ の関係は，

\[\left\{ \begin{array}{l} X=x+p\\[5pt] Y=y \end{array}\right.\ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=X-p\\[5pt] y=Y \end{array}\right.\]

　これらを①に代入すると，$X$ と $Y$ の関係式が得られる：

\[Y=a(X-p)^2\ \ (y=a(x-p)^2)\]

　従って次が成り立つ：

　この移動に伴って，2次関数 $y=a(x-p)^2$ のグラフの軸は直線 $x=p$ に移動し，頂点も点 $(p, 0)$ に移動する．

1.4　$y\!=\!a(x\!-\!p)^2\!+\!q$ のグラフ

前2節の変化が両方起こったとき，グラフはどうなるか

　1.2節と1.3節で $y$ 軸方向と $x$ 軸方向の平行移動の式を導いたが，それをミックスしたものがこの節で扱う $y=a(x-p)^2+q$ の形で，これが2次関数の変形の最終形となる．

　放物線 $y=ax^2\ \ \cdots$ ①上の任意の点を $(x,y)$ とし，この点を

$x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$

だけ平行移動した点を $(X,Y)$ とする：

　$(x,y)$ と $(X,Y)$ の関係は，

\[\left\{ \begin{array}{l} X=x+p\\[5pt] Y=y+q \end{array}\right.\ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=X-p\\[5pt] y=Y-q \end{array}\right.\]

　これらを①に代入すると，$X$ と $Y$ の関係式が得られる：

\[Y-q=a(X-p)^2\]

\[\therefore Y=a(X-p)^2+q\ \ (y=a(x-p)^2+q)\]

　従って次が成り立つ：

1.5　$y\!=\!ax^2\!+\!bx\!+\!c$ のグラフ

$y=ax^2+bx+c$ は結局 $y=a(x-p)^2+q$ に帰着させる

　どのような2次関数も $y=ax^2+bx+c$ の形で表せるが，この形のままだとグラフをかくことは難しい．1.4節で学んだ $y=a(x-p)^2+q$ の形になってこそ，このグラフの状況を詳しくとらえることができるのである．

ポイント　変形して $\boldsymbol{y=a(x-p)^2+q}$ の形にする．

補足

　$ax^2+bx+c$ を $a(x-p)^2+q$ の形に変形することを平方完成するという．

例題　放物線 $y\!=\!-3x^2\!+\!6x\!+\!4$ の軸と頂点の座標を求め，グラフをかけ．

答

　解答例を表示する

\[\begin{align*} y&=-3(x^2-2x)+4\\[5pt] &=-3\{(x-1)^2-1\}+4\\[5pt] &=-3(x-1)^2+3+4\\[5pt] &=-3(x-1)^2+7 \end{align*}\] 　よって，軸は直線 $\boldsymbol{x=1}$，頂点の座標は $\boldsymbol{(1,7)}$
　またグラフは次のようになる：

次は，2．関数のグラフの移動

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