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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅰ 第1章 2次関数

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1. 2次関数のグラフ [無料]  
2. 関数のグラフの移動 [無料]  
3. 2次関数の最大・最小 [無料]  
4. 2次関数の決定 [無料]  
5. 2次関数のグラフと方程式 [無料]  
6. 2次不等式とグラフ [無料]  
7. 2次方程式の解の配置 [無料]  

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

1. 2次関数のグラフ

1.1 $y=ax^2$ のグラフ

$a>0$ のとき

$a<0$ のとき

1.2 $y=ax^2+q$ のグラフ

 放物線 $y=ax^2\ \ \cdots$ ①上の任意の点を $(x,y)$ とし,この点を $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した点を $(X,Y)$ とする:

$a>0,\ q>0$ の場合

 $(x,y)$ と $(X,Y)$ の関係は,

\[\left\{ \begin{array}{l} X=x\\[5pt] Y=y+q \end{array}\right.\ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=X\\[5pt] y=Y-q \end{array}\right.\]

 これらを①に代入すると,$X$ と $Y$ の関係式が得られる:

\[Y-q=aX^2\]

\[\therefore Y=aX^2+q\ \ (y=ax^2+q)\]

 従って次が成り立つ:

$y=ax^2+q$ のグラフ  2次関数 $y=ax^2+q$ のグラフは,$y=ax^2$ のグラフを $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものとなる.

1.3 $y=a(x-p)^2$ のグラフ

 放物線 $y=ax^2\ \ \cdots$ ①上の任意の点を $(x,y)$ とし,この点を $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動した点を $(X,Y)$ とする:

$a>0,\ p>0$ のとき

 $(x,y)$ と $(X,Y)$ の関係は,

\[\left\{ \begin{array}{l} X=x+p\\[5pt] Y=y \end{array}\right.\ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=X-p\\[5pt] y=Y \end{array}\right.\]

 これらを①に代入すると,$X$ と $Y$ の関係式が得られる:

\[Y=a(X-p)^2\ \ (y=a(x-p)^2)\]

 従って次が成り立つ:

$y=a(x-p)^2$ のグラフ 2次関数 $y=a(x-p)^2$ のグラフは,$y=ax^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動したものとなる.

1.4 $y\!=\!a(x\!-\!p)^2\!+\!q$ のグラフ

 放物線 $y=ax^2\ \ \cdots$ ①上の任意の点を $(x,y)$ とし,この点を

$x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$

だけ平行移動した点を $(X,Y)$ とする:

$a>0,\ p>0,\ q>0$ の場合

 $(x,y)$ と $(X,Y)$ の関係は,

\[\left\{ \begin{array}{l} X=x+p\\[5pt] Y=y+q \end{array}\right.\ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=X-p\\[5pt] y=Y-q \end{array}\right.\]

 これらを①に代入すると,$X$ と $Y$ の関係式が得られる:

\[Y-q=a(X-p)^2\]

\[\therefore Y=a(X-p)^2+q\ \ (y=a(x-p)^2+q)\]

 従って次が成り立つ:

$y=a(x-p)^2+q$ のグラフ 2次関数 $y=a(x-p)^2+q$ のグラフは,$y=ax^2$ のグラフを\[x\mbox{ 軸方向に }p,\ y\mbox{ 軸方向に }q\]だけ平行移動したものとなる.このとき,\[\mbox{軸:直線 }x=p,\ \mbox{頂点 }(p,q)\]

1.5 $y\!=\!ax^2\!+\!bx\!+\!c$ のグラフ

ポイント 変形して $\boldsymbol{y=a(x-p)^2+q}$ の形にする.

補足

 $ax^2+bx+c$ を $a(x-p)^2+q$ の形に変形することを平方完成するという.

例題 放物線 $y\!=\!-3x^2\!+\!6x\!+\!4$ の軸と頂点の座標を求めよ.

\[\begin{align*} y&=-3(x^2-2x)+4\\[5pt] &=-3\{(x-1)^2-1\}+4\\[5pt] &=-3(x-1)^2+3+4\\[5pt] &=-3(x-1)^2+7 \end{align*}\]  よって,軸は直線 $\boldsymbol{x=1}$,頂点の座標は $\boldsymbol{(1,7)}$


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