高校数学[総目次]
数学Ⅰ 第1章 2次関数
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 2次関数のグラフ | [無料] | ||
| 2. 関数のグラフの移動 | |||
| 3. 2次関数の最大・最小 | |||
| 4. 2次関数の決定 | |||
| 5. 2次関数のグラフと方程式 | |||
| 6. 2次不等式とグラフ | |||
| 7. 2次方程式の解の配置 |
1. 2次関数のグラフ
2次関数は高校数学の土台
中学校では $y=ax^2$ の形の関数を学んだ．
高校の数学Ⅰでは，ここからより複雑な，そしてより豊かな形式へと踏み込んでいく．
最終形は $y=ax^2+bx+c$ であり，ゴールまでのアウトラインは次のようになる．
🤔「最終形が $y=ax^2+bx+c$ なら，最後の緑色の矢印は下向きなのでは？」
——そういぶかる向きもあるだろう．
確かに，学習の順序として最後に登場するのは
\[y=ax^2+bx+c\]
であり，その意味では“終点”と呼んでも差し支えない．
しかし，実際にそのグラフを描こうとする瞬間，私たちは必ずといってよいほど
\[y=a(x-p)^2+q\]
という姿に書き換えることを求められるのだ．——その事情を踏まえて，緑の矢印は上向きにしておいた．
＊＊＊＊
2次関数は高等学校のごく初期に学ぶ分野であるが，その影響力は異様なほど広い．
他分野の問題に姿を変えて何度も割り込み，特に最大・最小を問う問題においては，最終的に2次関数の理論へと回収されていく構図が繰り返し現れる．
2次関数は，学習の扉を開く最初の段階で姿を現しながら，大学入試に至るまで決して手放すことのできない，数学の土台そのものなのである．
1.0 はじめに
$f(x)$ という表し方
中学校で学んだ $y=2x+3$ のように，
$x$ の値を決めると，それに対応して $y$ の値がただ1つに決まるとき，$\boldsymbol{y}$ は $\boldsymbol{x}$ の関数である
という．
$y=2x+3$ という関数に，名前を付けておくと，書き手・読み手の双方に便利な場合がある．
数学では
\[f(x)=2x+3,\ \ g(x)=x^2-4x+7,\ \ h(x)=\cdots\]
といったように，関数に $f,\ g,\ h,\ \cdots$ とアルファベット1文字で名前を付け，それが $x$ の関数であることを
「 $(x)$ 」
を添えて表す．
※ 関数を英語で function というので，$f$ の文字が非常によく用いられる．
この表し方は大変便利で，
「$y=2x+3$ において，$x=5$ のときの $y$ の値」
という内容を
\[f(5)\]
と書くだけでよい．そして
\[f(5)=2\cdot5+3=13\]
となる．
定数関数とは
関数の中で特別なものとして，定数関数(ていすうかんすう)がある．
これは，
どんな $\boldsymbol{x}$ の値に対しても，$\boldsymbol{y}$ の値が常に一定であるような関数
のことを指す．
例えば，どんな $x$ の値に対しても，$y$ の値が常に $2$ のとき，
関数 $y=2$
と書き表す．
注意
単に $y=2$ と書いたとき，
① 文字 $y$ の値が2である
② 定数関数 $y=2$ を表す
の2つの意味が考えられる．
前後関係から，どちらの意味であるかがわかることもあるが，紛らわしい場合は「関数 $y=2$」と明示すべきである．
象限(しょうげん)とは
中学1年生で，比例のグラフを学んだとき，図のような点Pは，
\[{\rm P}(a,\ b)\]
と表した．
このように，座標軸を定めて，点の位置を座標で表すことができる平面を，座標平面(ざひょうへいめん)という．
座標軸によって分けられた４つの領域を，右上からスタートして反時計回りに
第1象限，第2象限，第3象限，第4象限
という．
例えば，点 $(1,\ 2)$ は第1象限の点で，点 $(-2,\ -1)$ は第3象限の点である．
注意
4つの領域の境界線である座標軸上の点，例えば点 $(1,\ 0)$ や，点 $(0,\ -2)$ などは，どの象限にも属さない．
1.1 $y=ax^2$ のグラフ
(復習) $y=ax^2$ のグラフはどのようなものだったか
中学校で習った関数 $y=ax^2$ の復習から始めよう．まずは $a$ が正の場合と負の場合に大きく分けられる．いくつかの例で，グラフの形状や特徴を確認しよう．
$a>0$ のとき
例題1 次の2次関数のグラフをかけ
① $y=x^2$
② $y=2x^2$
③ $y=\dfrac12x^2$
$x$ の値が $-3$，$-2$，$-1$，$0$，$1$，$2$，$3$ の場合を計算して座標平面上にとり，滑らかに連結することでグラフを描いてみよう．
こたえ
① $y=x^2$
② $y=2x^2$
③ $y=\dfrac12x^2$
これら3つのグラフは次のようになる：
これらのグラフは放物線(ほうぶつせん)と呼ばれている．
いずれも軸が直線 $x=0$ すなわち $y$ 軸で，グラフと軸との交点である原点 $(0,\ 0)$ を，これらの放物線の頂点という．
また，これらのように下にとがった曲線を下に凸(とつ)という．
$a$ の値が大きくなるにつれて，グラフがスリムになっていくことが見て取れる．
$a<0$ のとき
例題2 次の2次関数のグラフをかけ
① $y=-x^2$
② $y=-2x^2$
③ $y=-\dfrac12x^2$
$a>0$ の場合と同じように $x$ が整数であるいくつかの値を計算し，グラフを描いてみよう．
こたえ
① $y=-x^2$
② $y=-2x^2$
③ $y=-\dfrac12x^2$
これらのグラフは次のようになる．
これらのグラフも放物線である．
軸が直線 $x=0$ すなわち $y$ 軸であることや，グラフと軸との交点である原点 $(0,\ 0)$ がこれらの放物線の頂点であることも，$a>0$ の場合と同様である．
大きく異なるのはグラフの形状で，$a>0$ の場合ととがっている向きがが逆になっている．
このような曲線を上に凸という．
$a$ の値が小さくなるにつれて( $a$ の絶対値が大きくなるにつれて)，グラフがスリムになっていくことが見て取れる．
$y=ax^2$ のグラフは $a$ の値によってどう変化するか
$y=ax^2$ の $a$ の値を変化させていったときのグラフの様子を，下のアニメーションで確認しておこう．
$y=ax^2$ の $a$ の値を
3から-3まで変化させたときの
グラフの変化の様子．
1.2 $y=ax^2+q$ のグラフ
$y=ax^2$ に「$+q$」が追加されるとグラフはどうなるか
例 $y=x^2+2$ のグラフは $y=x^2$ のそれと比べてどう違うか．
この関数について，$x$ の値からスタートして $y$ の値が決まる手順は次の通りである：
$x$ $\to$ $x^2$ $\to$ $x^2$＋２ $\to$ $y$
$x$ の値が $-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2$ のときの $y$ の値を調べてみると次のようになる．
| $x$ | $x^2$ | $x^2 \color{red}{+2}$ | $y$ |
|---|---|---|---|
| $-2$ | $4$ | $6$ | $6$ |
| $-1$ | $1$ | $3$ | $3$ |
| $0$ | $0$ | $2$ | $2$ |
| $1$ | $1$ | $3$ | $3$ |
| $2$ | $4$ | $6$ | $6$ |
ここで $y=x^2+2$ と $y=x^2$ の関係を探ってみよう．上の考察から
$y=x^2+2$ の $x=X$ のときの値は， $y=x^2$ の $x=X$ のときの値より２だけ大きい
ことがわかる．これを言い換えると
放物線 $y=x^2+2$ の $x=X$ のときの $y$ 座標は，放物線 $y=x^2$ の $x=X$ のときの $y$ 座標より２だけ大きい
ということがいえる．図で表すと次のようになる：
いま，$x$ の値のいくつかについて見てきたが，これを全ての $x$ について隙間なく調べてみると次のようになり，これが $y=x^2+2$ のグラフである．
つまり，$y=x^2+2$ のグラフは，$y=x^2$ のグラフを $y$ 軸方向に2だけ平行移動したものなのである．
それでは一般論
一般に，放物線 $y=ax^2\ \ \cdots$ ①上の任意の点を $(x,y)$ とし，この点を $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した点を $(X,Y)$ とする：
$(x,\ y)$ と $(X,\ Y)$ の関係は，
\[\left\{ \begin{array}{l} X=x\\[5pt] Y=y+q \end{array}\right.\ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=X\\[5pt] y=Y-q \end{array}\right.\]
これらを①に代入すると，$X$ と $Y$ の関係式が得られる：
\[Y-q=aX^2\]
\[\therefore Y=aX^2+q\]
これは点$(X,\ Y)$ が，$y=ax^2+q$ のグラフ上にあることを意味する．
この移動に伴って，2次関数 $y=ax^2+q$ のグラフの頂点は点 $(0,\ q)$ に移動する．一方，グラフの軸は，$y$ 軸のままで，変化しない．
y=ax²+q のグラフ
2次関数 $y=ax^2+q$ のグラフは，$y=ax^2$ のグラフを $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものとなる．
軸は $y$ 軸(直線 $x=0$)
頂点は 点 $(0,\ q)$
1.3 $y=a(x-p)^2$ のグラフ
$y=ax^2$ の $x$ が $x-p$ に変わるとグラフはどうなるか
例 $y=(x-1)^2$ のグラフは $y=x^2$ のそれと比べてどう違うか．
この関数について，$x$ の値からスタートして $y$ の値が決まる手順は次の通りである：
$x$ $\to$ $x$－１ $\to$ $(x-1)^2$ $\to$ $y$
$x$ の値が $-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3$ のときの $y$ の値を調べてみると次のようになる．
| $x$ | $x\color{red}{-1}$ | $(x-1)^2$ | $y$ |
|---|---|---|---|
| $-1$ | $-2$ | $4$ | $4$ |
| $0$ | $-1$ | $1$ | $1$ |
| $1$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $2$ | $1$ | $1$ | $1$ |
| $3$ | $2$ | $4$ | $4$ |
ここで $y=(x-1)^2$ と $y=x^2$ の関係を探ってみると，上の具体例の考察から
$x$ のある値 $X$ に対する $(x-1)^2$ の値は， $x $ が $X-1$ のときの $y=x^2$ の値と等しい
ことがわかる．これを言い換えると
放物線 $y=(x-1)^2$ の $x=X$ のときの $y$ 座標は，放物線 $y=x^2$ の $x=X-1$ のときの $y$ 座標と等しい
ということがいえる．図に表すと次のようになる：
例えば，$y=(x-1)^2$ の $x=2$ のときの $y$ 座標は，$y=x^2$ の $x=1$ のときの $y$ 座標と等しい．
この図を見ると，$x$ の各値に対して「$x-1$」というのは1だけ左側の値を指しており，そこにおける $x^2$ の値が右側へスライドしたものが $y=(x-1)^2$ の $y$ の値であることがわかる．
いま，$x$ の値のいくつかについて見てきたが，これを全ての $x$ について隙間なく調べてみると次のようになり，これが $y=(x-1)^2$ のグラフである．
つまり $y=(x-1)^2$ のグラフは $y=x^2$ のグラフを $x$ 軸方向に1だけ平行移動したものとなっているのである．
それでは一般論
放物線 $y=ax^2\ \ \cdots$ ①上の任意の点を $(x,y)$ とし，この点を $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動した点を $(X,Y)$ とする：
$(x,y)$ と $(X,Y)$ の関係は，
\[\left\{ \begin{array}{l} X=x+p\\[5pt] Y=y \end{array}\right.\ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=X-p\\[5pt] y=Y \end{array}\right.\]
これらを①に代入すると，$X$ と $Y$ の関係式が得られる：
\[Y=a(X-p)^2\]
これは点 $(X,\ Y)$ が $y=a(x-p)^2$ のグラフ上にあることを意味する．
この移動に伴って，2次関数 $y=a(x-p)^2$ のグラフの軸は直線 $x=p$ に移動し，頂点も点 $(p,\ 0)$ に移動する．
y=a(x-p)² のグラフ
2次関数 $y=a(x-p)^2$ のグラフは，$y=ax^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$ だけ平行移動したものとなる．
軸は 直線 $x=p$
頂点は 点 $(p,\ 0)$
1.4 $y\!=\!a(x\!-\!p)^2\!+\!q$ のグラフ
前2節の変化が両方起こったとき，グラフはどうなるか
1.2節と1.3節で $y$ 軸方向と $x$ 軸方向の平行移動の式を導いたが，それをミックスしたものがこの節で扱う $y=a(x-p)^2+q$ の形で，これが2次関数の変形の最終形となる．
放物線 $y=ax^2\ \ \cdots$ ①上の任意の点を $(x,y)$ とし，この点を
$x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$
だけ平行移動した点を $(X,Y)$ とする：
$(x,y)$ と $(X,Y)$ の関係は，
\[\left\{ \begin{array}{l} X=x+p\\[5pt] Y=y+q \end{array}\right.\ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=X-p\\[5pt] y=Y-q \end{array}\right.\]
点 $(x,\ y)$ は放物線①上の点だから代入すると，$X$ と $Y$ の関係式が得られる：
\[Y-q=a(X-p)^2\]
\[\therefore Y=a(X-p)^2+q\ \ (y=a(x-p)^2+q)\]
従って次が成り立つ：
y=a(x-p)²+q のグラフ
2次関数 $y=a(x-p)^2+q$ のグラフは，$y=ax^2$ のグラフを
$x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$
だけ平行移動したものとなる．このとき，
軸：直線 $x=p$，頂点 $(p,\ q)$
1.5 $y\!=\!ax^2\!+\!bx\!+\!c$ のグラフ
$y=ax^2+bx+c$ は結局 $y=a(x-p)^2+q$ に帰着させる
どのような2次関数も $y=ax^2+bx+c$ の形で表せるが，この形のままだとグラフをかくことは難しい．1.4節で学んだ $y=a(x-p)^2+q$ の形になってこそ，このグラフの状況を詳しくとらえることができるのである．
ポイント 変形して $\boldsymbol{y=a(x-p)^2+q}$ の形にする．
補足
$ax^2+bx+c$ を $a(x-p)^2+q$ の形に変形することを平方完成するという．演習問題 に平方完成のやり方を示したアニメーションを用意した．
例題 放物線 $y\!=\!-3x^2\!+\!6x\!+\!4$ の軸と頂点の座標を求め，グラフをかけ．
答
解答例を表示する
このあとは演習問題 で理解を確認！
次は，2．関数のグラフの移動
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