このページにある内容は,こちらのスライドでわかり易く説明しています.

高校数学ノート[総目次]

数学Ⅰ 第1章 2次関数

  スライド ノート
1. 2次関数のグラフ [無料]  
2. 関数のグラフの移動 [無料]  
3. 2次関数の最大・最小 [無料]  
4. 2次関数の決定 [無料]  
5. 2次関数のグラフと方程式 [無料]  
6. 2次不等式とグラフ [無料]  
7. 2次方程式の解の配置 [無料]  

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

3. 2次関数の最大・最小

3.1 2次関数の最大・最小

2次関数 $y\!=\!ax^2\!+\!bx\!+\!c
(=f(x)$ とする) について,$y\!=\!a(x\!-\!p)^2\!+\!q$ と変形できたとする.

定義域が実数全体のとき

[1] $\boldsymbol{a>0}$ のとき

・$x=p$ で最小値 $q$
・最大値はない

[2] $\boldsymbol{a<0}$ のとき

・$x=p$ で最大値 $q$
・最小値はない

定義域に制限があるとき $(x_1\!\leqq\! x\!\leqq\! x_2)$

[1] 軸が定義域に含まれるとき

グラフは $a>0$ の場合

$\boldsymbol{a>0}$ のとき

・$x=x_1$ (or $x=x_2$) で最大値 $f(x_1)$ (or $f(x_2)$ )
・$x=p$ で最小値 $q$

$\boldsymbol{a<0}$ のとき

・$x=p$ で最大値 $q$
・$x=x_1$ (or $x=x_2$) で最小値 $f(x_1)$ (or $f(x_2)$ )

[2] 軸が定義域に含まれない場合

グラフは $a>0$ の場合

  区間の両端で,最大・最小となる.

注意

 定義域に制限がある場合でも,最大値や最小値がないときもある.

例1 $y=x^2\ (-1<x<2)$

・$x=0$ で最小値0
・最大値はない.( $y$ は4にいくらでも近い値が取れるが,4自体は取れない.)

例2 $y=x^2\ (1<x<2)$

最大値も最小値もない

3.2 いくつかの例

例題1 [放物線が移動するケース]
2次関数 $y\!=\!x^2\!-\!2ax\ (0\!\leqq\! x\!\leqq\! 2)$ の最小値を求めよ.

 ポイント
  軸が定義域の内か外で場合分け

 $y=x^2-2ax=(x-a)^2-a^2$
 よってグラフは軸が直線 $x=a$ で下に凸.

[1] $a<0$ のとき

  $x=0$ で最小値0

[2] $0\leqq a\leqq 2$ のとき

  $x=a$ で最小値 $-a^2$

[3] $a>2$ のとき

  $x=2$ で最小値 $4-4a$

発展的補足

 最小値の候補は,定義域の両端,もしくは頂点の $y$ 座標であるから,

\[0,\ \ 4-4a,\ \ -a^2\]

の3つである.

 よって, $y=x^2-2ax\ \ (0\leqq x\leqq 2)$ の最小値 $m(a)$ は,

\[m(a)={\rm min}\{0,\ 4-4a,\ -a^2\}\]

と表される.(すぐ下の参照)

 ${\rm min}\{x,\ y\}$ で,$x$ と $y$ のうち,大きくない方の値を表す.

  ただし,$-a^2$ だけは,軸が定義域に入っている $0\leqq a\leqq 2$ のときのみ有効であることに注意.

 $m(a)$ のグラフは,各 $a$ において最小となるグラフをつないでいった,以下の太い実線部分となる:

スライドでは色分けして解説

 従って $m(a)$ は次のようになる:

\[m(a)=\left\{ \begin{array}{ll} 0&(a<0)\\[5pt] -a^2&(0\leqq a\leqq2)\\[5pt] 4-4a&(a>2) \end{array}\right.\]

例題2 [定義域が移動するケース]
2次関数 $y\!=\!x^2\!-\!2x\ (a\!\leqq\! x\!\leqq\! a+2)$ の最小値を求めよ.

 $y=x^2-2x=(x-1)^2-1$
 よってグラフは軸が直線 $x=1$ で,下に凸である.

[1] $a+2<1(\iff a<-1)$ のとき

  $x=a+2$ で最小値 $a^2+2a$

[2] $a\leqq 1\leqq a+2<2$ $(\iff -1\leqq a\leqq 1)$ のとき

  $x=1$ で最小値 $-1$

[3] $a>1$ のとき

  $x=a$ で最小値 $a^2-2a$

発展的補足

 最小値の候補は,定義域の両端,もしくは頂点の $y$ 座標であるから,

\[a^2+2a,\ \ a^2-2a,\ \ -1\]

の3つである.

 $y=x^2-2x\ (a\leqq x\leqq a+2)$ の最小値を $m(a)$ とすれば,

\[m(a)={\rm min}\{a^2+2a,\ a^2-2a,\ -1\}\]

と表せる.ただし,$-1$ は軸が定義域に入っている $-1\leqq a\leqq 1$ のときのみ有効である.

 $m(a)$ のグラフは,各 $a$ において,最小となるグラフをつないでいった図の太い実線部分となる:

スライドでは色分けして解説

 従って $m(a)$ は次のようになる:

\[m(a)=\left\{ \begin{array}{ll} a^2+2a&(a< -1)\\[5pt] -1&(-1\leqq a\leqq1)\\[5pt] a^2-2a&(a>1) \end{array}\right.\]


高校数学ノート[総目次]

数学Ⅰ 第1章 2次関数

  スライド ノート
1. 2次関数のグラフ [無料]  
2. 関数のグラフの移動 [無料]  
3. 2次関数の最大・最小 [無料]  
4. 2次関数の決定 [無料]  
5. 2次関数のグラフと方程式 [無料]  
6. 2次不等式とグラフ [無料]  
7. 2次方程式の解の配置 [無料]  

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.