高校数学[総目次]
数学Ⅰ 第1章 2次関数
スライド | ノート | 問題 | |
1. 2次関数のグラフ | [無料] | [会員] | |
2. 関数のグラフの移動 | [無料] | [会員] | |
3. 2次関数の最大・最小 | [無料] | [会員] | |
4. 2次関数の決定 | [無料] | [会員] | |
5. 2次関数のグラフと方程式 | [無料] | [会員] | |
6. 2次不等式とグラフ | [無料] | [会員] | |
7. 2次方程式の解の配置 | [無料] | [会員] |
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.
3. 2次関数の最大・最小
3.1 2次関数の最大・最小
2次関数の最大・最小にはいくつかのパターンがある
2次関数 $y\!=\!ax^2\!+\!bx\!+\!c
(=f(x)$ とする) について,$y\!=\!a(x\!-\!p)^2\!+\!q$ と変形できたとする.
定義域が実数全体のとき
[1] $\boldsymbol{a>0}$ のとき
・$x=p$ で最小値 $q$
・最大値はない
[2] $\boldsymbol{a<0}$ のとき
・$x=p$ で最大値 $q$
・最小値はない
定義域に制限があるときは,軸が定義域に含まれるかどうかが問題となる
定義域に制限があるとき $(x_1\!\leqq\! x\!\leqq\! x_2)$
[1] 軸が定義域に含まれるとき
$\boldsymbol{a>0}$ のとき
・$x=x_1$ (or $x=x_2$) で最大値 $f(x_1)$ (or $f(x_2)$ )
・$x=p$ で最小値 $q$
$\boldsymbol{a<0}$ のとき
・$x=p$ で最大値 $q$
・$x=x_1$ (or $x=x_2$) で最小値 $f(x_1)$ (or $f(x_2)$ )
[2] 軸が定義域に含まれない場合
区間の両端で,最大・最小となる.
定義域に制限があるときはいつでも最大・最小があるかといえばそういう訳ではない
注意
定義域に制限がある場合でも,最大値や最小値がないときもある.
例1 $y=x^2\ (-1<x<2)$
・$x=0$ で最小値0
・最大値はない.( $y$ は4にいくらでも近い値が取れるが,4自体は取れない.)
例2 $y=x^2\ (1<x<2)$
最大値も最小値もない
3.2 いくつかの例
例題1 [放物線が移動するケース]
2次関数 $y\!=\!x^2\!-\!2ax\ (0\!\leqq\! x\!\leqq\! 2)$ の最小値を求めよ.
ポイント
軸が定義域の内か外で場合分け
答
$y=x^2-2ax=(x-a)^2-a^2$
よってグラフは軸が直線 $x=a$ で下に凸.
[1] $a<0$ のとき
$x=0$ で最小値0
[2] $0\leqq a\leqq 2$ のとき
$x=a$ で最小値 $-a^2$
[3] $a>2$ のとき
$x=2$ で最小値 $4-4a$
発展的補足
レベルは高いが入試問題では大いに役立つ最大・最小の考え方
最小値の候補は,定義域の両端,もしくは頂点の $y$ 座標であるから,
\[0,\ \ 4-4a,\ \ -a^2\]
の3つである.
よって, $y=x^2-2ax\ \ (0\leqq x\leqq 2)$ の最小値 $m(a)$ は,
\[m(a)={\rm min}\{0,\ 4-4a,\ -a^2\}\]
と表される.(すぐ下の注参照)
注 ${\rm min}\{x,\ y\}$ で,$x$ と $y$ のうち,大きくない方の値を表す.
ただし,$-a^2$ だけは,軸が定義域に入っている $0\leqq a\leqq 2$ のときのみ有効であることに注意.
$m(a)$ のグラフは,各 $a$ において最小となるグラフをつないでいった,以下の太い実線部分となる:
従って $m(a)$ は次のようになる:
\[m(a)=\left\{ \begin{array}{ll} 0&(a<0)\\[5pt] -a^2&(0\leqq a\leqq2)\\[5pt] 4-4a&(a>2) \end{array}\right.\]
例題2 [定義域が移動するケース]
2次関数 $y\!=\!x^2\!-\!2x\ (a\!\leqq\! x\!\leqq\! a+2)$ の最小値を求めよ.
答
$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$
よってグラフは軸が直線 $x=1$ で,下に凸である.
[1] $a+2<1(\iff a<-1)$ のとき
$x=a+2$ で最小値 $a^2+2a$
[2] $a\leqq 1\leqq a+2$ $(\iff -1\leqq a\leqq 1)$ のとき
$x=1$ で最小値 $-1$
[3] $a>1$ のとき
$x=a$ で最小値 $a^2-2a$
発展的補足
最小値の候補は,定義域の両端,もしくは頂点の $y$ 座標であるから,
\[a^2+2a,\ \ a^2-2a,\ \ -1\]
の3つである.
$y=x^2-2x\ (a\leqq x\leqq a+2)$ の最小値を $m(a)$ とすれば,
\[m(a)={\rm min}\{a^2+2a,\ a^2-2a,\ -1\}\]
と表せる.ただし,$-1$ は軸が定義域に入っている $-1\leqq a\leqq 1$ のときのみ有効である.
$m(a)$ のグラフは,各 $a$ において,最小となるグラフをつないでいった図の太い実線部分となる:
従って $m(a)$ は次のようになる:
\[m(a)=\left\{ \begin{array}{ll} a^2+2a&(a< -1)\\[5pt] -1&(-1\leqq a\leqq1)\\[5pt] a^2-2a&(a>1) \end{array}\right.\]
次は,4.2次関数の決定
前は,2.関数のグラフの移動
このページで疑問は解決されましたか?
こちら から数学に関するご質問・ご要望をお寄せください。
高校数学[総目次]
数学Ⅰ 第1章 2次関数
スライド | ノート | 問題 | |
1. 2次関数のグラフ | [無料] | [会員] | |
2. 関数のグラフの移動 | [無料] | [会員] | |
3. 2次関数の最大・最小 | [無料] | [会員] | |
4. 2次関数の決定 | [無料] | [会員] | |
5. 2次関数のグラフと方程式 | [無料] | [会員] | |
6. 2次不等式とグラフ | [無料] | [会員] | |
7. 2次方程式の解の配置 | [無料] | [会員] |
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.