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6. 2次不等式とグラフ

6.1 2次不等式

 $a\!>\!0$とする.2次方程式 $ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ が異なる2つの実数解 $\alpha,\beta\ (\alpha<\beta)$ をもつとき,\begin{align*} &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!>\!0\mbox{ の解は}\ x\!<\!\alpha,\beta\!<\!x\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\geqq\!0\mbox{ の解は}\ x\!\leqq\!\alpha,\beta\!\leqq\! x\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!<\!0\mbox{ の解は}\ \alpha\!<\!x\!<\!\beta\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\leqq\!0\mbox{ の解は}\ \alpha\!\leqq\!x\!\leqq\!\beta \end{align*}

補足

6.2 放物線が $x$ 軸に接する場合

 $a\!>\!0$とする.2次方程式 $ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ が $p$ を重解にもつとき,\begin{align*} &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!>\!0\mbox{ の解は}\ x\!<\!p,p\!<\!x\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\geqq\!0\mbox{ の解は すべての実数}\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!<\!0\mbox{ の解は なし}\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\leqq\!0\mbox{ の解は}\ x=p\end{align*}

6.3 放物線が $x$ 軸と共有点をもたない場合

 $a\!>\!0$とする.2次方程式 $ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ が 実数解をもたないとき,\begin{align*} &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!>\!0\mbox{ の解は すべての実数}\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\geqq\!0\mbox{ の解は すべての実数}\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!<\!0\mbox{ の解は なし}\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\leqq\!0\mbox{ の解は なし}\end{align*}