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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅰ 第1章 2次関数

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1. 2次関数のグラフ [無料]  
2. 関数のグラフの移動 [無料]  
3. 2次関数の最大・最小 [無料]  
4. 2次関数の決定 [無料]  
5. 2次関数のグラフと方程式 [無料]  
6. 2次不等式とグラフ [無料]  
7. 2次方程式の解の配置 [無料]  

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

6. 2次不等式とグラフ

6.1 2次不等式

 $y=x^2-2x-3\,[\,=(x+1)(x-3)\,]$

 グラフより,

 $y>0$ すなわち $x^2-2x-3>0\iff x<-1,\ 3<x$
 $y<0$ すなわち $x^2-2x-3<0\iff -1<x<3$

 一般に次が成り立つ:

 $a\!>\!0$とする.2次方程式 $ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ が異なる2つの実数解 $\alpha,\beta\ (\alpha<\beta)$ をもつとき,\begin{align*} &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!>\!0\mbox{ の解は}\ x\!<\!\alpha,\beta\!<\!x\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\geqq\!0\mbox{ の解は}\ x\!\leqq\!\alpha,\beta\!\leqq\! x\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!<\!0\mbox{ の解は}\ \alpha\!<\!x\!<\!\beta\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\leqq\!0\mbox{ の解は}\ \alpha\!\leqq\!x\!\leqq\!\beta \end{align*}

補足

 $a <0$ のときは,両辺に $-1$ を掛けて,$x^2$ の係数を正にしてから考えるとよい.
(このとき不等号の向きが変わるので注意.)

6.2 放物線が $x$ 軸に接する場合

 例として,2次関数 $y=x^2-2x+1$ を考えると, $y=x^2-2x+1=(x-1)^2$ により,グラフは $x$ 軸に $x=1$ で接する下に凸な放物線である.よって,

 $x^2-2x+1>0$ の解は,$x<1,\ 1<x$
 $x^2-2x+1\geqq0$ の解は,すべての実数
 $x^2-2x+1<0$ の解は,なし
 $x^2-2x+1\leqq0$ の解は,$x=1$ (等式!)

※4番目の例では不等式の解が等式となっていることに注意.

 $a\!>\!0$とする.2次方程式 $ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ が $p$ を重解にもつとき,\begin{align*} &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!>\!0\mbox{ の解は}\ x\!<\!p,p\!<\!x\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\geqq\!0\mbox{ の解は すべての実数}\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!<\!0\mbox{ の解は なし}\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\leqq\!0\mbox{ の解は}\ x=p\end{align*}

6.3 放物線が $x$ 軸と共有点をもたない場合

 例として,2次関数 $y=x^2-2x+2$ を考えると, $y\!=\!x^2\!-\!2x\!+\!1\!=\!(x\!-\!1)^2\!+\!1$ となるから,グラフは $x$ 軸より上側にある下に凸な放物線である.よって,

 $x^2-2x+2>0$ の解は,すべての実数
 $x^2-2x+2\geqq0$ の解は,すべての実数
 $x^2-2x+2<0$ の解は,なし
 $x^2-2x+2\leqq0$ の解は,なし

 $a\!>\!0$ とする.2次方程式 $ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ が 実数解をもたないとき,\begin{align*} &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!>\!0\mbox{ の解は すべての実数}\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\geqq\!0\mbox{ の解は すべての実数}\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!<\!0\mbox{ の解は なし}\\[5pt] &ax^2\!+\!bx\!+\!c\!\leqq\!0\mbox{ の解は なし}\end{align*}


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