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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅰ 第1章 2次関数

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1. 2次関数のグラフ 無料     【ノート
2. 関数のグラフの移動 無料     【ノート
3. 2次関数の最大・最小 無料   【ノート
4. 2次関数の決定 無料      【ノート
5. 2次関数のグラフと方程式 無料 【ノート
6. 2次不等式とグラフ 無料    【ノート
7. 2次方程式の解の配置 無料   【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

5. 2次関数のグラフと方程式

5.1 2次関数と2次方程式

 放物線 $y=ax^2+bx+c$ が $x$ 軸 (直線 $y=0$ ) と共有点をもつとき,その $x$ 座標は, \[\left\{\begin{array}{l} y=ax^2+bx+c\\[5pt] y=0 \end{array}\right.\] から $y$ を消去した2次方程式 \[ax^2+bx+c=0\] の実数解である.
 逆に2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が実数解をもつとき,この2次方程式の左辺を $y$ とおいた放物線 $y=ax^2+bx+c$ は,右辺を $y$ とおいた直線 $y=0$ ($x$ 軸) と共有点をもつ.
 つまり,次が成り立つ:

 2次関数 $y\!=\!ax^2\!+\!bx\!+\!c$ のグラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標は,2次方程式 $\boldsymbol{ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0}$ の実数解と等しい.

 放物線 $y=ax^2+bx+c$ が $x$ 軸と接する場合や,共有点をもたない場合も,それぞれ次のようになる:

接する     $\iff ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ は重解をもつ
共有点をもたない$\iff ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ は実数解をもたない

 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が実数解をもつかどうかは判別式 $D=b^2-4ac$ によって分かるから,まとめると次のようになる:

 2次関数 $y\!=\!ax^2\!+\!bx\!+\!c$ のグラフと $x$ 軸との関係は,2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式を $D$ とすると,\begin{align*}&D>0\iff\mbox{異なる2点で交わる}\\ &D=0\iff\mbox{接する}\\ &D<0\iff\mbox{共有点をもたない}\end{align*}

 「2次関数の議論から2次方程式の議論へ」またはその逆の「2次方程式の議論から2次関数の議論へ」といった相互の乗り入れが自由にできるようにしておくことが重要である.

例題 2次関数 $y=2x^2+4x+m$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を求めよ.

 2次方程式 $2x^2+4x+m=0$ の判別式を $D$ とすると, \[D/4=2^2-2m=2(2-m)\]  よって共有点の個数は, \[\left\{\begin{array}{ll} D/4>0(\iff m <2)\mbox{のとき} & 2\mbox{個}\\[5pt] D/4=0(\iff m=2)\mbox{のとき} & 1\mbox{個}\\[5pt] D/4 < 0(\iff m >2)\mbox{のとき} & 0\mbox{個} \end{array}\right.\ \ \cdots(\mbox{答})\]

5.2 2次関数のグラフと直線

 放物線 $y=ax^2+bx+c$ と直線 $y=px+q$ から $y$ を消去した \[ax^2+bx+c=px+q\] 即ち2次方程式 \[ax^2+(b-p)x+c-q=0\] について,
 異なる2つの実数解をもつ $\iff$ 2点で交わる
 重解をもつ       $\iff$ 接する
 実数解をもたない    $\iff$ 共有点をもたない
がいえるから,次が成り立つ:

 2次関数 $y\!=\!ax^2\!+\!bx\!+\!c$ のグラフと 直線 $y\!=\!px\!+\!q$ の関係は,2次方程式 $ax^2\!+\!(b\!-\!p)x\!+\!c\!-\!q\!=\!0$ の判別式を $D$ とすると,\begin{align*}&D>0\iff\mbox{異なる2点で交わる}\\ &D=0\iff\mbox{接する}\\ &D<0\iff\mbox{共有点をもたない}\end{align*}

例題 2次関数 $y=2x^2+5x$ のグラフと直線 $y=x-m$ との共有点の個数を求めよ.

 放物線と直線の方程式から $y$ を消去すると, \[2x^2+5x=x-m\] \[\therefore\ \underline{\boldsymbol{2x^2+4x+m=0}}\]   [ 以下,上の例題と同様のため省略.]

5.3 2つの2次関数のグラフ

2つの放物線 $y=ax^2+bx+c$,$y=a’x^2+b’x+c’$ から $y$ を消去した  \[ax^2+bx+c=a’x^2+b’x+c’\] 即ち方程式 \[(a-a’)x^2+(b-b’)x+c-c’=0\ \ \cdots\mbox{①}\] について,

$a\neq a’$ のとき

 異なる2つの実数解をもつ $\iff$ 2点で交わる
 重解をもつ       $\iff$ 接する
 実数解をもたない    $\iff$ 共有点をもたない

$a=a’$ のとき

 ①は $(b-b’)x+c-c’=0$ となり,共有点はあっても1つ.


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