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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅰ 第1章 2次関数

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1. 2次関数のグラフ 無料     【ノート
2. 関数のグラフの移動 無料     【ノート
3. 2次関数の最大・最小 無料   【ノート
4. 2次関数の決定 無料      【ノート
5. 2次関数のグラフと方程式 無料 【ノート
6. 2次不等式とグラフ 無料    【ノート
7. 2次方程式の解の配置 無料   【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

5. 2次関数のグラフと方程式

5.1 2次関数と2次方程式

 2次関数 $y\!=\!ax^2\!+\!bx\!+\!c$ のグラフと $x$ 軸との共有点の$x$座標は,2次方程式 $\boldsymbol{ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0}$ の実数解と等しい.

 2次関数 $y\!=\!ax^2\!+\!bx\!+\!c$ のグラフと $x$ 軸との関係は,2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式を $D$ とすると,\begin{align*}&D>0\iff\mbox{異なる2点で交わる}\\ &D=0\iff\mbox{接する}\\ &D<0\iff\mbox{共有点をもたない}\end{align*}

例題 2次関数 $y=2x^2+4x+m$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を求めよ.

 2次方程式 $2x^2+4x+m=0$ の判別式を $D$ とすると, \[D/4=2^2-2m=2(2-m)\]  よって共有点の個数は, \[\left\{\begin{array}{ll} D/4>0(\iff m <2)\mbox{のとき} & 2\mbox{個}\\[5pt] D/4=0(\iff m=2)\mbox{のとき} & 1\mbox{個}\\[5pt] D/4 < 0(\iff m >2)\mbox{のとき} & 0\mbox{個} \end{array}\right.\ \ \cdots(\mbox{答})\]

5.2 2次関数のグラフと直線

 2次関数 $y\!=\!ax^2\!+\!bx\!+\!c$ のグラフと 直線 $y\!=\!px\!+\!q$ の関係は,2次方程式 $ax^2\!+\!(b\!-\!p)x\!+\!c\!-\!q\!=\!0$ の判別式を $D$ とすると,\begin{align*}&D>0\iff\mbox{異なる2点で交わる}\\ &D=0\iff\mbox{接する}\\ &D<0\iff\mbox{共有点をもたない}\end{align*}

例題 2次関数 $y=2x^2+5x$ のグラフと直線 $y=x-m$ との共有点の個数を求めよ.

 放物線と直線の方程式から $y$ を消去すると, \[2x^2+5x=x-m\] \[\therefore\ \underline{\boldsymbol{2x^2+4x+m=0}}\]   [ 以下,上の例題と同様のため省略.]

5.3 2つの2次関数のグラフ


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数学Ⅰ 第1章 2次関数

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1. 2次関数のグラフ 無料     【ノート
2. 関数のグラフの移動 無料     【ノート
3. 2次関数の最大・最小 無料   【ノート
4. 2次関数の決定 無料      【ノート
5. 2次関数のグラフと方程式 無料 【ノート
6. 2次不等式とグラフ 無料    【ノート
7. 2次方程式の解の配置 無料   【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.