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| 1. 2次関数のグラフ | [無料] | [会員] | |
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| 6. 2次不等式とグラフ | [無料] | [会員] | |
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演習問題
問題2はすべて微妙に異なっているので，数字や不等号の向き，不等号の下の等号の有無に気を付けてください．
問題１【基本】
次の2次不等式を解け．
(1) $(x-1)(x-3)<0$
(2) $x^2-2x+2<2x-1$
(3) $-x^2+4x-3<0$
問題２【基本】
次の2次不等式を解け．
(1) $x^2-4x+5>0$
(2) $x^2-4x+4>0$
(3) $x^2-4x+4\geqq0$
(4) $x^2-4x+4\leqq0$
(5) $x^2-4x+4<0$
問題３【標準】
$a$ を定数とするとき，次の2次不等式を解け．\[x^2-(a+2)+2a<0\]
問題４【標準】
$a$ を定数とするとき，次の不等式を解け．\[ax^2-2ax\leqq0\]
問題５【標準】
2次不等式 $ax^2+bx-3\leqq0$ の解が $x\leqq1,\ 3\leqq x$ となるように定数 $a,\ b$ の値を定めよ．
問題６【標準】
$x$ の方程式 $mx^2+(m-3)x+1=0$ の実数解の個数を求めよ．
問題７【標準】
(1) すべての実数 $x$ に対して，2次不等式 $x^2+2(k-2)x+1\geqq0$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求めよ．
(2) ある実数 $x$ に対して，2次不等式 $x^2+2(k-2)x+1<0$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求めよ．
問題８【標準】
$1\leqq x\leqq 4$ であるすべての $x$ に対して，不等式 $x^2-2mx+4m+1>0$ が成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求めよ．
問題９【標準】
次の不等式を解け
\[4x-3<x^2\leqq 2x\]
問題10【発展】
実数 $x,y$ が $x^2+y^2=4$ を満たすとき．$2x+y^2$ の最大値と最小値を求めよ．
問題11【発展】
実数 $x,y$ が $x^2+y^2=4$ を満たすとき．$2x+y$ の最大値と最小値を求めよ．
2次不等式を考える上で最も有用な思考は，
2次関数のグラフを考える
です．例えば(1)の場合，左辺の $(x-1)(x-3)$ を $y$ とおくと\[y<0\]と表されます．2次関数 $y=(x-1)(x-3)$ のグラフは次のようになります．
$x$ を動かしたとき， $y$ の値はどうなるでしょうか？
このアニメーションからわかるように， $y<0$ というのはグラフが $x$ 軸より下側にきている場合であって，そのようになっている $x$ の値の範囲はどうなっているのかということが問われている訳です．
解答
(1) $y=(x-1)(x-3)$ とおくと，この2次関数のグラフは図のようになります．
グラフから $y<0$ となる $x$ の値の範囲は\[1<x<3\]
(2) $x^2-2x+2<2x-1$ を整理すると\[x^2-4x+3<0\] これは左辺を因数分解すれば(1)の2次不等式と同じになりますから，答えも当然同じです．
答えは $1<x<3$
(3) 両辺に $-1$ を掛けると\[x^2-4x+3>0\] 故に左辺を $y$ とおいた2次関数は(1)のものと同じになります．(3)では $y>0$ となる範囲ですから，グラフが $x$ 軸よりも上側となっている $x$ の値の範囲を求めればよい訳です．
答えは $x<1,\ 3<x$
重要な注意
(3)のように $x^2$ の係数が負の数であるときには，両辺に $-1$ を掛けて正の数にしてから考えます．グラフを常に下に凸にしておくことで，うっかりミスを減らすことができます．必ず実施するようにしましょう．