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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅰ 第1章 2次関数

  スライド ノート
1. 2次関数のグラフ [無料]  
2. 関数のグラフの移動 [無料]  
3. 2次関数の最大・最小 [無料]  
4. 2次関数の決定 [無料]  
5. 2次関数のグラフと方程式 [無料]  
6. 2次不等式とグラフ [無料]  
7. 2次方程式の解の配置 [無料]  

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

2. 2次関数のグラフの移動

2.1 放物線の合同

 2つの放物線 $y=x^2-2x$ と $y=x^2+6x+10$ について,

\[y=x^2-2x=(x-1)^2-1\]

→ 放物線 $y=x^2$ を $x$ 軸方向に1,
   $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したもの.

\[y=x^2+6x+10=(x+3)^2+1\]

→ 放物線 $y=x^2$ を $x$ 軸方向に $-3$,
  $y$ 軸方向に1だけ平行移動したもの.

となり,いずれも放物線 $y=x^2$ と合同な図形である.

 一般に,放物線 $y=ax^2+bx+c$ はすべて放物線 $y=ax^2$ と合同である.
 また,$x^2$ の係数が $-a$ の放物線も,凸性は異なるものの,放物線 $y=ax^2$ と合同である.

 放物線 $\boldsymbol{y=ax^2+bx+c}$ の形を決定付けるのは,2次の係数 $\boldsymbol a$ なのである.

例題 放物線 \(y=2x^2-4x\) を $x$ 軸方向に $-2$,$y$ 軸方向に 5 だけ平行移動させた放物線の方程式を求めよ.

解法1

 $y=2x^2-4x=2(x-1)^2-2$
 頂点は,点 $(1,-2)$
 頂点を $x$ 軸方向に $-2$,$y$ 軸方向に 5 だけ移動させると,点$(-1,3)$.
 2次の係数が2であることに注意して,求める放物線の方程式は, \[\underline{\boldsymbol{y=2(x+1)^2+3}}\ \ \ (y=2x^2+4x+5)\]

解法2

 放物線 $y=2x^2-4x$ 上の任意の点 $(x,y)$ を $x$ 軸方向に $-2$,$y$ 軸方向に $5$ だけ移動した点を $(X,Y)$ とすると, \[\begin{align*} &\left\{\begin{array}{l} X=x-2\\[5pt] Y=y+5 \end{array}\right.\\[7pt] \therefore\ \ &\left\{\begin{array}{l} x=X+2\\[5pt] y=Y-5 \end{array}\right. \end{align*}\]  これらを与式に代入して, \[Y-5=2(X+2)^2-4(X+2)\]  よって求める放物線の方程式は, \[\begin{align*} y&=2(x+2)^2-4(x+2)+5\\[5pt] &=2(x^2+4x+4)-4x-8+5\\[5pt] &=2x^2+4x+5 \end{align*}\] \[\therefore \underline{\boldsymbol{y=2x^2+4x+5}}\]

補足

 解法2でみたように,一般には次のようになる.

 曲線 $y=f(x)\ \ \cdots$①上の任意の点 $(x,y)$ を

$x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$

だけ移動した点を $(X,Y)$ とすると,

\[\begin{align*} &\left\{\begin{array}{l} X=x+p\\[5pt] Y=y+q \end{array}\right.\\[7pt] \therefore\ \ &\left\{\begin{array}{l} x=X-p\\[5pt] y=Y-q \end{array}\right. \end{align*}\]

 これを①に代入して, \[Y-q=f(X-p)\] \[\bigl(\ y-q=f(x-p)\ \bigr)\]  従って次が成り立つ:

グラフの平行移動 曲線 $y=f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したグラフの方程式は\[ y-q=f(x-p)\]

2.2 直線 $x=p$ に関する対称移動

例題 放物線 $y=x^2-2x$ を直線 $x=2$ に関して対称移動させた放物線の方程式を求めよ.

解法1

 $y=x^2-2x=(x-1)^2-1$
 よって頂点の座標は$(1,-1)$.これを直線 $x=2$ に関して対称移動した点の座標は $(3,-1)$ であり,この移動で放物線の凸性は変化しないから,求める放物線の方程式は

$y=(x-3)^2-1\ \ \cdots$ (答)
$(y=x^2-6x+8)$

解法2

 放物線 $y=x^2-2x$ 上の任意の点 $(x,y)$ を,直線 $x=2$ に関して対称移動した点を $(X,Y)$ とすると,

\[ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x+X}2=2\\[5pt] Y=y \end{array}\right. \ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=4-X\\[5pt] y=Y \end{array}\right.\]

 これを $y=x^2-2x$ に代入して,

\[\begin{align*} Y&=(4-X)^2-2(4-X)\\[5pt] &=X^2-6X+8 \end{align*}\]

 よって求める放物線の方程式は,

$y=x^2-6x+8\ \ \cdots$ (答)

2.3 直線 $y=q$ に関する対称移動

例題 放物線 $y=x^2-2x$ を $x$ 軸(直線 $y=0$) に関して対称移動させた放物線の方程式を求めよ.

解法1

 頂点 $(1,-1)$ を $x$ 軸に関して対称移動させると $(1,1)$.
 この移動で,グラフが下に凸から上に凸に変わることに注意して,求める放物線の方程式は,

$y=-(x-1)^2+1\ \ \cdots$(答)
$(y=-x^2+2x)$

解法2

 放物線 $y=x^2-2x\ \ \cdots$ ① 上の任意の点 $(x,y)$ を,$x$ 軸に関して対称移動した点を $(X,Y)$ とすると,

\[ \left\{\begin{array}{l} X=x\\[5pt] \dfrac{y+Y}2=0 \end{array}\right. \ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=X\\[5pt] y=-Y \end{array}\right.\]

  これを①に代入して,

\[-Y=X^2-2X\]

 よって求める放物線の方程式は,

$y=-x^2+2x\ \ \cdots$(答)

2.4 原点に関する対称移動

例題 放物線 $y=x^2-2x$ を原点に関して対称移動させた放物線の方程式を求めよ.

解法1

 頂点 $(1,-1)$ を 原点に関して対称移動させると $(-1,1)$.
 この移動で,グラフが下に凸から上に凸に変わることに注意して,求める放物線の方程式は,

$y=-(x+1)^2+1\ \ \cdots$(答)
$(y=-x^2-2x)$

解法2

 放物線 $y=x^2-2x\ \ \cdots$ ① 上の任意の点 $(x,y)$ を,原点に関して対称移動した点を $(X,Y)$ とすると,

\[ \left\{\begin{array}{l} \dfrac{x+X}2=0\\[5pt] \dfrac{y+Y}2=0 \end{array}\right. \ \ \ \therefore \left\{\begin{array}{l} x=-X\\[5pt] y=-Y \end{array}\right.\]

  これを①に代入して,

\[-Y=(-X)^2-2\cdot(-X)\]

 よって求める放物線の方程式は,

$y=-x^2-2x\ \ \cdots$(答)


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