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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅰ 第1章 2次関数

スライド↓       ノート↓
1. 2次関数のグラフ 無料     【ノート
2. 関数のグラフの移動 無料     【ノート
3. 2次関数の最大・最小 無料   【ノート
4. 2次関数の決定 無料      【ノート
5. 2次関数のグラフと方程式 無料 【ノート
6. 2次不等式とグラフ 無料    【ノート
7. 2次方程式の解の配置 無料   【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

2. 2次関数のグラフの移動

2.1 放物線の合同

 2つの放物線 $y=x^2-2x$ と $y=x^2+6x+10$ について,

\[y=x^2-2x=(x-1)^2-1\]

→ 放物線 $y=x^2$ を $x$ 軸方向に1,
   $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したもの.

\[y=x^2+6x+10=(x+3)^2+1\]

→ 放物線 $y=x^2$ を $x$ 軸方向に $-3$,
  $y$ 軸方向に1だけ平行移動したもの.

となり,いずれも放物線 $y=x^2$ と合同な図形である.

 一般に,放物線 $y=ax^2+bx+c$ はすべて放物線 $y=ax^2$ と合同である.
 また,$x^2$ の係数が $-a$ の放物線も,凸性は異なるものの,放物線 $y=ax^2$ と合同である.

 放物線 $\boldsymbol{y=ax^2+bx+c}$ の形を決定付けるのは,2次の係数 $\boldsymbol a$ なのである.

例題 放物線 \(y=2x^2-4x\) を $x$ 軸方向に $-2$,$y$ 軸方向に 5 だけ平行移動させた放物線の方程式を求めよ.

解法1

 $y=2x^2-4x=2(x-1)^2-2$
 頂点は,点 $(1,-2)$
 頂点を $x$ 軸方向に $-2$,$y$ 軸方向に 5 だけ移動させると,点$(-1,3)$.
 2次の係数が2であることに注意して,求める放物線の方程式は, \[\underline{\boldsymbol{y=2(x+1)^2+3}}\ \ \ (y=2x^2+4x+5)\]

解法2

 放物線 $y=2x^2-4x$ 上の任意の点 $(x,y)$ を $x$ 軸方向に $-2$,$y$ 軸方向に $5$ だけ移動した点を $(X,Y)$ とすると, \[\begin{align*} &\left\{\begin{array}{l} X=x-2\\[5pt] Y=y+5 \end{array}\right.\\[7pt] \therefore\ \ &\left\{\begin{array}{l} x=X+2\\[5pt] y=Y-5 \end{array}\right. \end{align*}\]  これらを与式に代入して, \[Y-5=2(X+2)^2-4(X+2)\]  よって求める放物線の方程式は, \[\begin{align*} y&=2(x+2)^2-4(x+2)+5\\[5pt] &=2(x^2+4x+4)-4x-8+5\\[5pt] &=2x^2+4x+5 \end{align*}\] \[\therefore \underline{\boldsymbol{y=2x^2+4x+5}}\]

補足

 解法2でみたように,一般には次のようになる.

 曲線 $y=f(x)\ \ \cdots$①上の任意の点 $(x,y)$ を

$x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$

だけ移動した点を $(X,Y)$ とすると, \[\begin{align*} &\left\{\begin{array}{l} X=x+p\\[5pt] Y=y+q \end{array}\right.\\[7pt] \therefore\ \ &\left\{\begin{array}{l} x=X-p\\[5pt] y=Y-q \end{array}\right. \end{align*}\]  これを①に代入して, \[Y-q=f(Y-p)\] \[\bigl(\ y-q=f(x-p)\ \bigr)\]  従って次が成り立つ:

グラフの平行移動 曲線 $y=f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したグラフの方程式は\[ y-q=f(x-p)\]

2.2 直線 $x=p$ に関する対称移動

例題 放物線 $y=x^2-2x$ を直線 $x=2$ に関して対称移動させた放物線の方程式を求めよ.

2.3 直線 $y=q$ に関する対称移動

例題 放物線 $y=x^2-2x$ を $x$ 軸(直線 $y=0$) に関して対称移動させた放物線の方程式を求めよ.

2.4 原点に関する対称移動

例題 放物線 $y=x^2-2x$ を原点に関して対称移動させた放物線の方程式を求めよ.


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2. 関数のグラフの移動 無料     【ノート
3. 2次関数の最大・最小 無料   【ノート
4. 2次関数の決定 無料      【ノート
5. 2次関数のグラフと方程式 無料 【ノート
6. 2次不等式とグラフ 無料    【ノート
7. 2次方程式の解の配置 無料   【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.