高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第3章 図形と方程式
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 座標平面上の点 | |||
| 2. 直線の方程式 | |||
| 3. 円の方程式 | |||
| 4. 円と直線 | |||
| 5. 軌跡と方程式 | |||
| 6. 不等式と領域 |
5．軌跡と方程式
5.1 軌跡
軌跡とは一体何を指すのか？
🙄ミラクルのことでしょ？
残念．漢字が違う．
❌ 奇跡（ミラクル）
⭕ 軌跡（数学）
数学における軌跡というのは，次のような図形を指す：
軌跡とは
ある条件を満たす点全体が作る図形
例1
条件：定点Cから一定の距離 $r$ にある
→ 軌跡は中心C，半径 $r$ の円
例2
条件：2点A，Bから等距離にある
→ 軌跡は線分ABの垂直二等分線
5.2 軌跡の求め方
ある条件Cを満たす点Pの軌跡が図形がFである とは
点Pが条件Cを満たす$\iff$図形F
を意味する．従って， の部分を示すには，次の2つを示さなければならない．
[1] 「$\Longrightarrow$」即ち，条件Cを満たす点はすべて図形F上にある．(必要条件)
※ 図形Fは，点Pが条件Cを満たすための必要条件
[2] 「$\Longleftarrow$」即ち，図形F上の点はすべて条件Cを満たす．(十分条件)
※ 図形Fは，点Pが条件Cを満たすための十分条件
例題 2点A$(0,\ 1)$とB$(3,\ 4)$から等距離にある点P$(x,\ y)$の軌跡を求めよ．
条件
AP=BP
[1] 【必要性】
AP$=$BP ($\cdots$ ①) より， AP$^2=$BP$^2\ \cdots$②
従って， $x^2\!+\!(y\!-\!1)^2\!=\!(x\!-\!3)^2\!+\!(y\!-\!4)^2\ \cdots$③
整理して， $x+y-4=0\ \cdots$④
よって条件を満たす点は，直線④上にある．
※ 直線④は，AP=BPであるための必要条件
[2] 【十分性】
直線④上の点は③を満たし，
③は②を意味し，
AP$>0$，BP$>0$ であるから ② $\Longrightarrow$ ①
※ 直線④は，AP=BPであるための十分条件
[1]，[2]より，点P$(x,\ y)$ について，
AP＝BP $\iff x+y-4=0$
よって求める軌跡は，直線 $\boldsymbol{x+y-4=0}$
補足
[2]については本問のように計算の逆をたどることで成り立つことが明らかならば省略することも多い．
注意
「軌跡を求めなさい」と言われたら，それは「条件を満たす図形を答えなさい」という意味なので，必ず図形の名称を答えに添えること．この例題では「直線○○」の「直線」がそれを指す．
[2]に注意を要する例
例題 線分ABを底辺とする二等辺三角形の頂点Pの軌跡を求めよ．
