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2. 直線の方程式

2.1 直線の方程式

[1] 傾き $m$,$y$ 切片 $n$ の直線

[2] 点A$(x_1,y_1)$ を通り,傾き $m$ の直線

[3] 2点A$(x_1,y_1)$,B$(x_2,y_2)$ を通る直線

まとめ  傾き $m$,$y$ 切片 $n$ の直線:\[y=mx+n\]  点$(x_1,y_1)$を通り,傾き$m$ の直線:\[y-y_1=m(x-x_1)\]  2点$(x_1,y_1),\ (y_2,y_2)$ を通る直線:
\[\begin{align*} &x_1\neq x_2 \mbox{ のとき,}y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)\\[5pt] &x_1=x_2 \mbox{ のとき,}x=x_1 \end{align*}\]

  2点 $(1,1),\ (5,3)$ を通る直線の方程式は?

 補足

 2点 $(3,0),\ (0,2)$ を通る直線

直線の方程式の一般形

2.2 2直線の関係

[1] 平行条件

 2直線 $y\!=\!m_1x\!+\!n_1\cdots$①,$y\!=\!m_2x\!+\!n_2\cdots$②について,\[\mbox{①}//\mbox{②}\iff m_1=m_2\]

 点 $(1,4)$ を通り,直線 $y=-2x+1$ に平行な直線

[2] 垂直条件

 2直線 $y\!=\!m_1x\!+\!n_1\cdots$①,$y\!=\!m_2x\!+\!n_2\cdots$②について,\[\mbox{①}\perp\mbox{②}\iff m_1m_2=-1\]

 直線 $y=2x+5$に垂直な直線の傾きは?

発展的補足

 2直線 $a_1x+b_1y+c_1=0\cdots$①,$a_2x+b_2y+c_2=0\cdots$②について,\[\begin{align*}\mbox{①}//\mbox{②}&\iff a_1b_2-a_2b_1=0\\ \mbox{①}\perp\mbox{②}&\iff a_1a_2+b_1b_2=0\end{align*}\]

[3] 一致条件

2.3 直線に関して対称な点

 直線 $l:y\!=\!2x\!-\!2$ に関して,点A$(0,4)$と対称な点B$(p,q)$は?

2.4 2直線の交点を通る直線

Q. 直線$l:(8k\!+\!2)x\!-\!(2k\!+\!6)y\!-\!19k\!+\!9\!=\!0\ \cdots(*)$ は,$k$ の値によらず定点を通ることを示せ.

A.

 2直線 $a_1x\!+\!b_1y\!+\!c_1\!=\!0,\ a_2x\!+\!b_2y\!+\!c_2\!=\!0$ が交わるとき,交点を通る直線の方程式は,$k$を定数として\[a_1x\!+\!by_1\!+\!c_1\!+\!k(a_2x\!+\!b_2y\!+\!c_2)\!=\!0\ \cdots (☆)\]と書ける.

注意

 2直線 $8x\!-\!2y\!-\!19\!=\!0\cdots\mbox{①},\ 2x\!-\!6y\!+\!9\!=\!0\cdots\mbox{②}$ の交点と,点$(-2,10)$を通る直線の方程式は?

2.5 点と直線の距離

    (これは[1]のケースを含んでいる.)

点と直線の距離 点P$(x_1,y_1)$ と直線 $l:ax\!+\!by\!+\!c\!=\!0$ の距離 $d$ は,\[ d=\frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\]

発展的補足

 点$(-4,5)$ と直線 $x\!-\!2y\!+\!3\!=\!0$ との距離 $d$ は?