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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第3章 図形と方程式

スライド↓     ノート↓
1. 座標平面上の点 無料   【ノート
2. 直線の方程式 無料    【ノート
3. 円の方程式         【ノート
4. 円と直線          【ノート
5. 軌跡と方程式        【ノート
6. 不等式と領域        【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

3.1 円の方程式

円とは?

 定点から等しい距離にある点の集合

 定点(円の中心)を${\rm C}(a,b)$,等しい距離(半径)を $r$ とし,円上の点を${\rm P}(x,y)$ とすると, \[{\rm CP}=r\iff {\rm CP}^2=r^2\] であるから, \[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\] が成り立つ.

円の方程式 中心 $(a,b)$,半径 $r$ の円の方程式は\[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\] 特に中心が原点のとき,\[x^2+y^2=r^2\]

 中心$(2,-1)$,半径5の円の方程式は,\[(x-2)^2+(y+1)^2=25\]

3.2 円の方程式の一般形

 円の方程式 \[(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\] を展開して整理すると, \[x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0\]  この式で,$-2a$,$-2b$,$a^2+b^2-r^2$ は定数であるから,一般に円の方程式は次の形にすることができる:

円の方程式の一般形\[x^2+y^2+lx+my+n=0\]

この方程式の特徴

 ・$x^2$ と $y^2$ の係数が等しい.
 ・$xy$ の項がない.

注意

 上の式は \[\left(x\!+\!\frac l2\right)^2\!+\!\left(y\!+\!\frac m2\right)^2\!=\!\frac{l^2\!+\!m^2\!-\!4n}4\] と変形できるから,右辺の分子について,

$l^2+m^2-4n>0$

でなければ円を表さない.

例題 $x^2+y^2-6x+4y-23=0$ はどんな円を表すか.

\[\begin{align*} (x^2-6x)+(y^2+4y)&=23\\[5pt] (x-3)^2+(y+2)^2&=23+(-3)^2+2^2\\[5pt] \therefore (x-3)^2+(y+2)^2&=6^2 \end{align*}\]  よって,$\boldsymbol{(3,-2)}$ を中心とする半径6の円


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数学Ⅱ 第3章 図形と方程式

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1. 座標平面上の点 無料   【ノート
2. 直線の方程式 無料    【ノート
3. 円の方程式         【ノート
4. 円と直線          【ノート
5. 軌跡と方程式        【ノート
6. 不等式と領域        【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.