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高校数学[総目次]

数学Ⅱ 第3章 図形と方程式

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1.1 数直線上の点

内分点

 数直線上の2点A,Bについて,線分ABを $m:n$ に内分する点P

1° $a<b$ のとき

\[\begin{align*} (x-a):(b-x)&=m:n\\[5pt] n(x-a)&=m(b-x)\\[5pt] (m+n)x&=na+mb\\[5pt] \therefore x&=\frac{na+mb}{m+n} \end{align*}\]

2° $a>b$ のとき

\[\begin{align*} (a-x):(x-b)&=m:n\\[5pt] n(a-x)&=m(x-b)\\[5pt] (m+n)x&=na+mb\\[5pt] \therefore x&=\frac{na+mb}{m+n} \end{align*}\]

 1°,2° ともに同じ結果となるから次が成り立つ:

 数直線上の2点A$(a)$, B$(b)$について,線分ABを$m:n$に内分する点の座標は,\[\frac{na+mb}{m+n}\] 特に,線分ABの中点($1:1$に内分する点)は,\[\frac{a+b}2\]

  数直線上の2点 ${\rm A}(3)$,${\rm B}(6)$ について,

(1) 線分ABを $2:1$ に内分する点の座標

\[\frac{1\times3+2\times6}{2+1}=5\]

(2) 線分ABの中点

\[\frac{3+6}2=\frac92\]

外分点

 数直線上の2点A,Bについて,線分ABを $m:n$ に外分する点Q

1° $m>n$ のとき

$a<b$ のとき

\[\begin{align*} (x-a):(x-b)&=m:n\\[5pt] m(x-b)&=n(x-a)\\[5pt] (m-n)x&=-na+mb\\[5pt] \therefore x&=\frac{-na+mb}{m-n} \end{align*}\]

2° $m<n$ のとき

$a<b$ のとき

\[\begin{align*} (a-x):(b-x)&=m:n\\[5pt] n(a-x)&=m(b-x)\\[5pt] (m-n)x&=-na+mb\\[5pt] \therefore x&=\frac{-na+mb}{m-n} \end{align*}\]

 1°,2° ともに同じ結果となるから次が成り立つ:

 数直線上の2点A$(a)$, B$(b)$について,線分ABを$m:n$に外分する点の座標は,($m$と$n$の大小関係によらず)\[\frac{-na+mb}{m-n}\]

  数直線上の2点 ${\rm A}(3)$,${\rm B}(5)$ について,

(1) 線分ABを $2:1$ に外分する点の座標

\[\frac{-1\times3+2\times5}{2-1}=7\]

(2) 線分ABを $1:2$ に外分する点の座標

\[\frac{-2\times3+1\times5}{1-2}=1\]

1.2 座標平面上の点

2点間の距離

 2点 ${\rm A}(x_1,y_1)$,${\rm B}(x_2,y_2)$ について,2点A,B間の距離ABは,三平方の定理により,

\[{\rm AB}^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\]

となる.この式は,ABが $x$ 軸に垂直な場合($x_1=x_2$)や,$y$ 軸に垂直な場合($y_1=y_2$)でも成り立つ.
 ${\rm AB}>0$ であるから,

\[{\rm AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\]

 特に,点Bが原点 ${\rm O}(0,0)$ のとき,

\[{\rm OA}=\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2}\]

2点間の距離 平面上の2点A$(x_1,y_1)$, B$(x_2,y_2)$について,2点間の距離ABは,\[{\rm AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\] 特に,Bが原点$(0,0)$のとき,\[{\rm OA}=\sqrt{{x_1}^2+{y_1}^2}\]

  A$(1,4)$,B$(3,2)$ のとき,

\[\begin{align*} {\rm AB}&=\sqrt{(3-1)^2+(2-4)^2}\\[5pt] &=\sqrt8\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{2\sqrt2}} \end{align*}\]

内分点・外分点

 平面上の2点 ${\rm A}(x_1,y_1)$,${\rm B}(x_2,y_2)$ について

1° 線分ABを $m:n$ に内分する点P

2° 線分ABを $m:n$ に外分する点Q

$m>n$ のとき

 平行線と線分の比の関係を考えると,結局数直線上の2点の場合に帰着される.

まとめ 平面上の2点A$(x_1,y_1)$, B$(x_2,y_2)$ について,線分ABを $m:n$ に\[\begin{align*}&\mbox{内分する点}:\left(\frac{nx_1+mx_2}{m+n},\frac{ny_1+my_2}{m+n}\right)\\ &\hspace{10mm}\mbox{特に中点は}\left(\frac{x_1+x_2}2,\frac{y_1+y_2}2\right)\\ &\mbox{外分する点}:\left(\frac{-nx_1+mx_2}{m-n},\frac{-ny_1+my_2}{m-n}\right)\end{align*}\]

 平面上の2点 ${\rm A}(0,1)$,${\rm B}(3,4)$ について

(1) $2:1$ に内分する点

\[\left(\frac{1\cdot0+2\cdot3}{2+1},\frac{1\cdot1+2\cdot4}{2+1}\right)\]

\[\therefore (2,3)\]

(2) 中点

\[\left(\frac{0+3}2,\frac{1+4}2\right)\]

\[\therefore \left(\frac32,\frac52\right)\]

(3) $4:1$ に外分する点

\[\left(\frac{-1\cdot0+4\cdot3}{4-1},\frac{-1\cdot1+4\cdot4}{4-1}\right)\]

\[\therefore (4,5)\]

(4) $1:4$ に外分する点

\[\left(\frac{-4\cdot0+1\cdot3}{1-4},\frac{-4\cdot1+1\cdot4}{1-4}\right)\]

\[\therefore (-1,0)\]

対称な点

 2点A$(x_1,y_1)$,B$(x_2,y_2)$ が点P$(X,Y)$ に関して対称な位置にあるとき,

点Pは線分ABの中点

と捉える.

例題 点A$(1,4)$と,点P$(3,2)$に関して対称な点Bの座標は?

 点P$(3,2)$ は線分ABの中点だから,

\[\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{1+x}2=3\\[5pt] \dfrac{4+y}2=2 \end{array}\right. \ \ \ \therefore \left\{ \begin{array}{ll} x=5\\[5pt] y=0 \end{array}\right.\]

 よって,B$\boldsymbol{(5,0)}$

三角形の重心

 辺BCの中点をM$(X,Y)$ とおくと,

\[\left\{ \begin{array}{ll} X=\dfrac{x_2+x_3}2\\[5pt] Y=\dfrac{y_2+y_3}2 \end{array}\right.\]

 重心Gは,線分AMを $2:1$ に内分する点であるから,G$(x,y)$ は,

\[\left\{ \begin{array}{ll} x=\dfrac{1\cdot x_1+2X}{2+1}=\dfrac{x_1+x_2+x_3}3\\[5pt] y=\dfrac{1\cdot y_1+2Y}{2+1}=\dfrac{y_1+y_2+y_3}3 \end{array}\right.\]

まとめ 3点A$(x_1,y_1)$, B$(x_2,y_2)$, C$(x_3,y_3)$について,△ABCの重心の座標は,\[\left(\frac{x_1+x_2+x_3}3,\ \frac{y_1+y_2+y_3}3\right)\]

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