このページにある内容は,こちらのスライド(会員向け)でわかり易く説明しています.

高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第3章 図形と方程式

スライド↓     ノート↓
1. 座標平面上の点 無料   【ノート
2. 直線の方程式 無料    【ノート
3. 円の方程式         【ノート
4. 円と直線          【ノート
5. 軌跡と方程式        【ノート
6. 不等式と領域        【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

4.1 円と直線の位置関係

[1] 判別式からのアプローチ

 円 $(x\!-\!a)^2\!+\!(y\!-\!b)^2\!=\!r^2$ と直線 $y\!=\!mx\!+\!n$ から $y$ を消去して得られる2次方程式の判別式を$D$とすると,\begin{align*} &D>0\iff\mbox{異なる2点で交わる}\\ &D=0\iff\mbox{接する}\\ &D<0\iff\mbox{共有点をもたない} \end{align*}

[2] 中心と直線の距離からのアプローチ

 半径 $r$ の円の中心と直線の距離を $d$ とすると,\begin{align*} &d<r\iff\mbox{異なる2点で交わる}\\ &d=r\iff\mbox{接する}\\ &d>r\iff\mbox{共有点をもたない} \end{align*}

 円C $:(x\!-\!3)^2\!+\!(y\!-\!2)^2\!=\!1$ と,直線 $l:x\!-\!2y\!+\!3\!=\!0$ の共有点の個数は?

補足

4.2 円の接線の方程式

$\underline{\mbox{Q.}}$ 円 $x^2\!+\!y^2\!=\!r^2$ 上の点P$(x_1,\ y_1)$ における接線 $l$ の方程式は?

まとめ 円 $x^2+y^2=r^2$ 上の点P$(x_1,\ y_1)$ における接線 $l$ の方程式は,\[x_1x+y_1y=r^2\]

発展的補足

 円の中心が原点でないときは,次のように全体を平行移動することで,中心が原点の場合に帰着される:

 円 $(x\!-\!a)^2\!+\!(y\!-\!b)^2\!=\!r^2$ 上の点$(x_1,\ y_1)$ における接線の方程式は,\[(x_1\!-\!a)(x\!-\!a)\!+\!(y_1\!-\!b)(y\!-\!b)\!=\!r^2\]

例1 円$x^2+y^2=10$上の点$(3,-1)$における接線の方程式は?

例2 円$x^2+y^2=10$の接線で,点$(2,4)$を通るものは?

補足

発展的補足

4.3 2円の交点を通る図形

\begin{align*} &\mbox{円}C_1:x^2\!+\!y^2\!+\!l_1x\!+\!m_1y\!+\!n_1\!=\!0,\\ &\mbox{円}C_2:x^2\!+\!y^2\!+\!l_2x\!+\!m_2y\!+\!n_2\!=\!0 \end{align*}が共有点をもつとき,\begin{align*} k(x^2\!+\!y^2\!&+\!l_1x\!+\!m_1y\!+\!n_1)\\ &+\!x^2\!+\!y^2\!+\!l_2x\!+\!m_2y\!+\!n_2\!=\!0 \end{align*}は\begin{align*} &k\!\neq\!-1\mbox{のとき,2円の共有点を通る円}\\ &k\!=\!-1\mbox{のとき,2円の共有点を通る直線} \end{align*}を表す.

 円$C_1:x^2\!+\!y^2\!=\!5,C_2:x^2\!+\!y^2\!-\!6x\!-\!2y\!+\!5\!=\!0$について.
(1) 2円$C_1,C_2$の交点を通る直線の方程式は?
(2) 2円$C_1,C_2$の交点の座標は?
(3) 2円$C_1,C_2$の交点,及び点$(2,0)$を通る円の方程式は?


高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第3章 図形と方程式

スライド↓     ノート↓
1. 座標平面上の点 無料   【ノート
2. 直線の方程式 無料    【ノート
3. 円の方程式         【ノート
4. 円と直線          【ノート
5. 軌跡と方程式        【ノート
6. 不等式と領域        【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.