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4. ベクトルの内積

4.1 内積

ベクトルのなす角

内積

4.2 内積と成分

4.3 ベクトルのなす角

$\overrightarrow{a}=(-1,\ -2),\ \overrightarrow{b}=(3,\ 1)$のなす角は?

ベクトルの垂直

 $\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}$ かつ$\overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}$ のとき, \[\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\iff\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0 \]

注意

4.4 内積の性質

内積の性質\begin{align*} &[1]\ \ \overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut{a}}\ \ (\mbox{交換法則})\\[5pt] &[2]\ \ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=\left|\overrightarrow{a}\right|^2\\[5pt] &[3]\ \ \overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{\mathstrut{c}})=\overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot\overrightarrow{\mathstrut{c}}\ \ (\mbox{分配法則})\\[5pt] &[4]\ \ (\overrightarrow{\mathstrut{a}}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{\mathstrut{c}}=\overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot\overrightarrow{\mathstrut{c}}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut{c}}\ \ (\mbox{分配法則})\\[5pt] &[5]\ \ (k\overrightarrow{\mathstrut{a}})\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot(k\overrightarrow{b})=k(\overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot\overrightarrow{b})\ \ (k\mbox{ は実数}) \end{align*}

補足

注意

4.5 内積と正射影