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高校数学ノート[総目次]

数学B 第1章 ベクトル

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1. ベクトルと有向線分 無料  【ノート
2. ベクトルの演算 無料    【ノート
3. ベクトルの成分 無料    【ノート
4. ベクトルの内積        【ノート
5. 位置ベクトル         【ノート
6. ベクトル方程式        【ノート
7. 平面ベクトルの応用      【ノート
8. 空間ベクトル         【ノート
9. 空間ベクトルの成分      【ノート
10. 空間ベクトルの内積      【ノート
11. 空間の位置ベクトル      【ノート
12. 空間ベクトルの応用      【ノート
13. 空間のベクトル方程式     【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

10. 空間ベクトルの内積

10.1 空間ベクトルの内積

 空間内の$\overrightarrow{0}$でない2つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とすると,\[\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\ \ (0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ)\]

補足

 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$,または$ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$のとき,$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$と定義する.

10.2 内積と成分

 $\overrightarrow{\mathstrut a}=(a_1,\ a_2,\ a_3),\ \overrightarrow{\mathstrut b}=(b_1,\ b_2,\ b_3)$ のとき,
$[1]\ \ \overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$
$[2]\ \ \overrightarrow{\mathstrut a}\!\neq\!\overrightarrow{0}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}\!\neq\!\overrightarrow{\mathstrut 0}$ のとき,$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ のなす角を $\theta$ とすると, \[\begin{align*} \cos\theta&=\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}}{|\overrightarrow{\mathstrut a}||\overrightarrow{\mathstrut b}|}\\ &=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2+{b_3}^2}} \end{align*}\]

[1]の証明

 余弦定理により,

AB$^2=$ OA$^2+$ OB$^2-2$ OA$\cdot$OB $\cos\theta$

\[\therefore |\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}|^2=|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut b}|^2-2\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}\]

$\therefore \overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=\dfrac{|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2+|\overrightarrow{\mathstrut b}|^2-|\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a}|^2}2\ \ \cdots$ ①

(①の右辺の分子)$=({a_1}^2\!+\!{a_2}^2\!+\!{a_3}^2)\!+\!({b_1}^2\!+\!{b_2}^2\!+\!{b_3}^2)$
         $-\{(b_1\!-\!a_1)^2\!+\!(b_2\!-\!a_2)^2\!+\!(b_3\!-\!a_3)^2\}$
        $=2(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)$

よって①より,

\[\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\]

例題 $\overrightarrow{a}=(-1,\ 2,\ -2),\ \overrightarrow{b}=(2,\ -2,\ 3)$の両方に垂直で,大きさが3であるベクトル$\overrightarrow{p}$を求めよ.

 $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ の双方に垂直なベクトルの1つを $\overrightarrow{\mathstrut q}=(x,y,z)$ とすると,

 $\overrightarrow{\mathstrut q}\perp\overrightarrow{\mathstrut a}$ より $\overrightarrow{\mathstrut q}\cdot\overrightarrow{\mathstrut a}=0$
   $\therefore -x+2y-2z=0\ \ \cdots$ ①

 $\overrightarrow{\mathstrut q}\perp\overrightarrow{\mathstrut b}$ より $\overrightarrow{\mathstrut q}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=0$
   $\therefore 2x-2y+3z=0\ \ \cdots$ ②

 ①$+$② より,$x+z=0$ $\therefore x=-z\ \ \cdots$ ③
 ①$\times2+$② より,$2y-z=0$ $\therefore y=\dfrac z2\ \ \cdots$ ④

 ③,④ で $z=2$ とおくと,$\overrightarrow{\mathstrut q}=(-2,1,2)$

 よって, \[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut p}&=\pm3\cdot\frac{\overrightarrow{\mathstrut q}}{|\overrightarrow{\mathstrut q}|}=\pm3\cdot\dfrac{(-2,1,2)}3\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\pm(-2,1,2)}} \end{align*}\]

補足

10.3 内積の性質

\begin{align*} &[1]\ \ \overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut{a}}\ \ (\mbox{交換法則})\\[5pt] &[2]\ \ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=\left|\overrightarrow{a}\right|^2\\[5pt] &[3]\ \ \overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{\mathstrut{c}})=\overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot\overrightarrow{\mathstrut{c}}\ \ (\mbox{分配法則})\\[5pt] &[4]\ \ (\overrightarrow{\mathstrut{a}}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{\mathstrut{c}}=\overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot\overrightarrow{\mathstrut{c}}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut{c}}\ \ (\mbox{分配法則})\\[5pt] &[5]\ \ (k\overrightarrow{\mathstrut{a}})\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot(k\overrightarrow{b})=k(\overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot\overrightarrow{b})\ \ (k\mbox{ は実数}) \end{align*}

補足

 平面ベクトルの内積の性質と完全に同一である.


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