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10. 空間ベクトルの内積

10.1 空間ベクトルの内積

 空間内の$\overrightarrow{0}$でない2つのベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とすると,\[\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\ \ (0^\circ\leqq\theta\leqq180^\circ)\]

補足

 $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$,または$ \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$のとき,$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0$と定義する.

10.2 内積と成分

 $\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3),\ \overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2,\ b_3)$のとき,\begin{align*} &[1]\ \ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\\[5pt] &[2]\ \ \overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0},\ \overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}\mbox{のとき,}\overrightarrow{a}\mbox{と}\overrightarrow{b}\mbox{のなす角を}\theta\mbox{とすると,}\\[5pt] &\hspace{8mm}\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\\ &\hspace{16mm}=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2+{a_3}^2}\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2+{b_3}^2}}\end{align*}

$\overrightarrow{a}=(-1,\ 2,\ -2),\ \overrightarrow{b}=(2,\ -2,\ 3)$の両方に垂直で,大きさが3であるベクトル$\overrightarrow{p}$を求めよ.

補足

10.3 内積の性質

\begin{align*} &[1]\ \ \overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut{a}}\ \ (\mbox{交換法則})\\[5pt] &[2]\ \ \overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=\left|\overrightarrow{a}\right|^2\\[5pt] &[3]\ \ \overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{\mathstrut{c}})=\overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot\overrightarrow{b}+\overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot\overrightarrow{\mathstrut{c}}\ \ (\mbox{分配法則})\\[5pt] &[4]\ \ (\overrightarrow{\mathstrut{a}}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{\mathstrut{c}}=\overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot\overrightarrow{\mathstrut{c}}+\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{\mathstrut{c}}\ \ (\mbox{分配法則})\\[5pt] &[5]\ \ (k\overrightarrow{\mathstrut{a}})\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\cdot(k\overrightarrow{b})=k(\overrightarrow{\mathstrut{a}}\cdot\overrightarrow{b})\ \ (k\mbox{ は実数}) \end{align*}

補足

 平面ベクトルの内積の性質と完全に同一である.