2. ベクトルの演算(ノート)

高校数学ノート[総目次]

数学B　第1章　ベクトル

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2. ベクトルの演算

2.1　ベクトルの加法

　$\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut\rm BC}$ のとき，$\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}$ を $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ の和といい， \[\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}\] で表す：

例

ベクトルの加法の性質\begin{align*} &[1]\ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\ (\mbox{交換法則})\\ &[2]\ \ (\overrightarrow{a}\!+\!\overrightarrow{b})\!+\!\overrightarrow{c}\!=\!\overrightarrow{a}\!+\!(\overrightarrow{b}\!+\!\overrightarrow{c})\ (\mbox{結合法則}) \end{align*}

[1]

[2]

逆ベクトル

　$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と
　　　大きさ：同じ
　　　向き　：反対
のベクトルを，$\overrightarrow{\mathstrut a}$ の逆ベクトルといい，$-\overrightarrow{\mathstrut a}$ で表す：

注意

　ベクトルでは「$+,\,-$」は正負の意味ではなく，向きを表す．

零ベクトル

　始点と終点が一致するベクトルを零ベクトルといい，$\overrightarrow{\mathstrut 0}$ で表す．

注意

　$\overrightarrow{\mathstrut 0}$ の大きさは0，向きは考えない．

$-\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{0}$の性質\begin{align*} &[1]\hspace{5mm}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\\ &[2]\hspace{5mm}\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=(-\overrightarrow{a})+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0} \end{align*}

[2]について

　$\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}$ とすると，

\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut a}+(-\overrightarrow{\mathstrut a})&=\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\overrightarrow{\mathstrut\rm BA}\\[5pt] &=\overrightarrow{\mathstrut\rm AA}\\[5pt] &=\overrightarrow{\mathstrut 0} \end{align*}\]

2.2　ベクトルの減法

　$\overrightarrow{\mathstrut a}+(-\overrightarrow{\mathstrut b})$ を $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ の差といい， \[\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}\] で表す：

例

2.3　ベクトルの実数倍

　$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と実数 $k$ に対して，$k\overrightarrow{\mathstrut a}$ を次のように定める：

1°　$\overrightarrow{\mathstrut a}\neq\overrightarrow{\mathstrut 0}$ のとき

	$k>0$	$k<0$
大きさ	$|\overrightarrow{\mathstrut a}|$ の $k$ 倍	$|\overrightarrow{\mathstrut a}|$ の $|k|$ 倍
向き	$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と同じ	$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と反対

　また，$k=0$ のときは，$\overrightarrow{\mathstrut 0}$ と定める．

2°　$\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$ のとき

　任意の実数 $k$ に対して， \[k\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut 0}\] と定める．

例

ベクトルの実数倍の性質　$k,\ l$ が実数のとき，\begin{align*} &[1]\hspace{5mm}k(l\overrightarrow{a})=(kl)\overrightarrow{a}\\ &[2]\hspace{5mm}(k+l)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}\\ &[3]\hspace{5mm}k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b} \end{align*}

[3]の証明

　$k>0$ のとき

　$\overrightarrow{\rm OB}$ と $\overrightarrow{\rm OB’}$ について，△OAB∽△OA$’$B$’$ により，

\[k|\overrightarrow{\rm OB}|=|\overrightarrow{\rm OB’}|\]

　そして向きも同じであることから，

\[k\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{\rm OB’}\]

　従って

\[k(\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b})=k\overrightarrow{\mathstrut a}+k\overrightarrow{\mathstrut b}\]

が成り立つ．

　$k<0$ の場合も同様にして示される．

補足

　これまでの議論により，ベクトルの和，差，実数倍は，文字式と同じように扱えることがわかる．

例

　$5\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-(3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b})=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$
　$2(3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b})=6\overrightarrow{a}-8\overrightarrow{b}$

2.4　ベクトルの平行

　$\overrightarrow{\mathstrut 0}$ でない2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$ について，向きが同じ，または反対のとき，「$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ は平行である」といい， \[\overrightarrow{\mathstrut a}//\overrightarrow{\mathstrut b}\] で表す．

例

ベクトルの平行条件 $\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0},\ \overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}$ のとき，\[\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\iff\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\ \ (k\mbox{は実数})\]

補足

　$\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}}{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}$ は $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と同じ向きに平行な単位ベクトルである．

∵）$\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}}{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}=\dfrac1{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}\overrightarrow{\mathstrut a}$ であり，$\dfrac1{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}>0$ により，$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と同じ向き．
　また， \[\left|\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}}{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}\right|=\frac{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}=1\] により，単位ベクトル．

■

$\overrightarrow{a}\left(\neq\overrightarrow{0}\right)$ に平行な単位ベクトルは， \[\pm\frac{\overrightarrow{a}}{\ \left|\overrightarrow{a}\right|\ }\]

　次の定理は重要：

定理　$s,\ t,\ s’,\ t’$ を実数とする． $\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0},\ \overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}$で，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が平行でないとき， \begin{align*} s\overrightarrow{a}\!+\!t\overrightarrow{b}\!=\!s’\overrightarrow{a}\!+\!t’\overrightarrow{b}\iff s\!=\!s’,\, t\!=\!t’\ \cdots\mbox{①} \end{align*}　特に， \[s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\iff s=t=0\ \cdots\mbox{②}\]

証明

　まず②を示す．

$\Leftarrow$ は明らか．
$\Rightarrow$
　$s\neq0$ とすれば，$\overrightarrow{\mathstrut a}=-\dfrac ts \overrightarrow{\mathstrut b}$．
　これは $\overrightarrow{\mathstrut a}//\overrightarrow{\mathstrut b}$ を意味し，矛盾．よって $s=0$．
　このとき，$t\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$ となり，$\overrightarrow{\mathstrut b}\neq\overrightarrow{\mathstrut 0}$ により $t=0$．

■

　次に①を示す．

$\Leftarrow$ は明らか．
$\Rightarrow$
　変形して， \[(s-s’)\overrightarrow{\mathstrut a}+(t-t’)\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut 0}\] 　よって②より， \[s-s’=0,\ \ t-t’=0\] \[\therefore s=s’,\ \ t=t’\]

■

補足

　$\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$ がともに $\overrightarrow{\mathstrut 0}$ でなく，また平行でないとき，「$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ は1次独立である」という．

2.5　ベクトルの分解

　あるベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ が与えられると，1次独立な2つのベクトルの2方向に分解できる．

例

　$\overrightarrow{\mathstrut p}$ を $s\overrightarrow{\mathstrut a}\!+\!t\overrightarrow{\mathstrut b}$ のように表すとき，これをベクトルの分解という．

　任意のベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ に対して， \[\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\] と表せるとき，上の定理により実数 $s,t$ は $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ に応じてただ1通りに決定する．即ち， \[\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{\mathstrut a}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\\[5pt] \overrightarrow{\mathstrut a}=s’\overrightarrow{\mathstrut a}+t’\overrightarrow{\mathstrut b} \end{array}\right.\] のような見かけ上異なる表現が取れたとしても実際は \[s=s’,\ \ \ t=t’\] である．

ベクトルの分解　2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$ は$\overrightarrow{\mathstrut 0}$ ではなく，また平行でもないとする．このとき，任意のベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ は実数 $s,t$ を用いて， \[\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\] とただ1通りに表現できる．

補足

　逆に1次独立な2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$，$\overrightarrow{\mathstrut b}$ を決めると，$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ で張る平面上の任意のベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ は，実数 $s,t$ を用いて， \[\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\] の形でただ1通りに表すことができる．

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