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高校数学ノート[総目次]

数学B 第1章 ベクトル

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2. ベクトルの演算 [無料]  
3. ベクトルの成分 [無料]  
4. ベクトルの内積 [会員]  
5. 位置ベクトル [会員]  
6. ベクトル方程式 [会員]  
7. 平面ベクトルの応用 [会員]  
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12. 空間ベクトルの応用 [会員]  
13. 空間のベクトル方程式 [会員]  

2. ベクトルの演算

2.1 ベクトルの加法

 $\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut\rm BC}$ のとき,$\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}$ を $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ のといい, \[\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}\] で表す:

ベクトルの加法の性質\begin{align*} &[1]\ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\ (\mbox{交換法則})\\ &[2]\ \ (\overrightarrow{a}\!+\!\overrightarrow{b})\!+\!\overrightarrow{c}\!=\!\overrightarrow{a}\!+\!(\overrightarrow{b}\!+\!\overrightarrow{c})\ (\mbox{結合法則}) \end{align*}

[1]

[2]

逆ベクトル

 $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と
   大きさ:同じ
   向き :反対
のベクトルを,$\overrightarrow{\mathstrut a}$ の逆ベクトルといい,$-\overrightarrow{\mathstrut a}$ で表す:

$\overrightarrow{\mathstrut\rm BA}=-\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}$

注意

 ベクトルでは「$+,\,-$」は正負の意味ではなく向きを表す.

零ベクトル

 始点と終点が一致するベクトルを零ベクトルといい,$\overrightarrow{\mathstrut 0}$ で表す.

注意

 $\overrightarrow{\mathstrut 0}$ の大きさは0,向きは考えない.

$-\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{0}$の性質\begin{align*} &[1]\hspace{5mm}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\\ &[2]\hspace{5mm}\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=(-\overrightarrow{a})+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0} \end{align*}

[2]について

 $\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}$ とすると,

\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut a}+(-\overrightarrow{\mathstrut a})&=\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\overrightarrow{\mathstrut\rm BA}\\[5pt] &=\overrightarrow{\mathstrut\rm AA}\\[5pt] &=\overrightarrow{\mathstrut 0} \end{align*}\]

2.2 ベクトルの減法

 $\overrightarrow{\mathstrut a}+(-\overrightarrow{\mathstrut b})$ を $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ のといい, \[\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}\] で表す:

$\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}-\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut\rm BA}$

2.3 ベクトルの実数倍

 $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と実数 $k$ に対して,$k\overrightarrow{\mathstrut a}$ を次のように定める:

1° $\overrightarrow{\mathstrut a}\neq\overrightarrow{\mathstrut 0}$ のとき

  $k>0$ $k<0$
大きさ $|\overrightarrow{\mathstrut a}|$ の $k$ 倍 $|\overrightarrow{\mathstrut a}|$ の $|k|$ 倍
向き $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と同じ $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と反対

 また,$k=0$ のときは,$\overrightarrow{\mathstrut 0}$ と定める.

2° $\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$ のとき

 任意の実数 $k$ に対して, \[k\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut 0}\] と定める.

ベクトルの実数倍の性質 $k,\ l$ が実数のとき,\begin{align*} &[1]\hspace{5mm}k(l\overrightarrow{a})=(kl)\overrightarrow{a}\\ &[2]\hspace{5mm}(k+l)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}\\ &[3]\hspace{5mm}k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b} \end{align*}

[3]の証明

 $k>0$ のとき

$k>0$ のとき

 $\overrightarrow{\rm OB}$ と $\overrightarrow{\rm OB’}$ について,△OAB∽△OA$’$B$’$ により,

\[k|\overrightarrow{\rm OB}|=|\overrightarrow{\rm OB’}|\]

 そして向きも同じであることから,

\[k\overrightarrow{\rm OB}=\overrightarrow{\rm OB’}\]

 従って

\[k(\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b})=k\overrightarrow{\mathstrut a}+k\overrightarrow{\mathstrut b}\]

が成り立つ.

 $k<0$ の場合も同様にして示される.

補足

 これまでの議論により,ベクトルの和,差,実数倍は,文字式と同じように扱えることがわかる.

 $5\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-(3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b})=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$
 $2(3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b})=6\overrightarrow{a}-8\overrightarrow{b}$

2.4 ベクトルの平行

 $\overrightarrow{\mathstrut 0}$ でない2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ について,向きが同じ,または反対のとき,「$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ は平行である」といい, \[\overrightarrow{\mathstrut a}//\overrightarrow{\mathstrut b}\] で表す.

ベクトルの平行条件 $\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0},\ \overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}$ のとき,\[\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\iff\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\ \ (k\mbox{は実数})\]

補足

 $\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}}{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}$ は $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と同じ向きに平行な単位ベクトルである.

∵)$\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}}{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}=\dfrac1{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}\overrightarrow{\mathstrut a}$ であり,$\dfrac1{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}>0$ により,$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と同じ向き.
 また, \[\left|\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}}{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}\right|=\frac{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}=1\] により,単位ベクトル.

$\overrightarrow{a}\left(\neq\overrightarrow{0}\right)$ に平行な単位ベクトルは, \[\pm\frac{\overrightarrow{a}}{\ \left|\overrightarrow{a}\right|\ }\]

 次の定理は重要:

定理 $s,\ t,\ s’,\ t’$ を実数とする. $\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0},\ \overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}$で,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が平行でないとき, \begin{align*} s\overrightarrow{a}\!+\!t\overrightarrow{b}\!=\!s’\overrightarrow{a}\!+\!t’\overrightarrow{b}\iff s\!=\!s’,\, t\!=\!t’\ \cdots\mbox{①} \end{align*} 特に, \[s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\iff s=t=0\ \cdots\mbox{②}\]

証明

 まず②を示す.

$\Leftarrow$ は明らか.
$\Rightarrow$
 $s\neq0$ とすれば,$\overrightarrow{\mathstrut a}=-\dfrac ts \overrightarrow{\mathstrut b}$.
 これは $\overrightarrow{\mathstrut a}//\overrightarrow{\mathstrut b}$ を意味し,矛盾.よって $s=0$.
 このとき,$t\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$ となり,$\overrightarrow{\mathstrut b}\neq\overrightarrow{\mathstrut 0}$ により $t=0$.

 次に①を示す.

$\Leftarrow$ は明らか.
$\Rightarrow$
 変形して, \[(s-s’)\overrightarrow{\mathstrut a}+(t-t’)\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut 0}\]  よって②より, \[s-s’=0,\ \ t-t’=0\] \[\therefore s=s’,\ \ t=t’\]

補足

 $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ がともに $\overrightarrow{\mathstrut 0}$ でなく,また平行でないとき,「$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ は1次独立である」という.

2.5 ベクトルの分解

 あるベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ が与えられると,1次独立な2つのベクトルの2方向に分解できる.

左は $\overrightarrow{\mathstrut p}\!=\!s\overrightarrow{\mathstrut a}\!+\!t\overrightarrow{\mathstrut b}$
右は $\overrightarrow{\mathstrut p}\!=\!u\overrightarrow{\mathstrut c}\!+\!v\,\overrightarrow{\mathstrut d}$
($s,t,u,v$ は実数)

 $\overrightarrow{\mathstrut p}$ を $s\overrightarrow{\mathstrut a}\!+\!t\overrightarrow{\mathstrut b}$ のように表すとき,これをベクトルの分解という.

 任意のベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ に対して, \[\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\] と表せるとき,上の定理により実数 $s,t$ は $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ に応じてただ1通りに決定する.即ち, \[\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{\mathstrut a}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\\[5pt] \overrightarrow{\mathstrut a}=s’\overrightarrow{\mathstrut a}+t’\overrightarrow{\mathstrut b} \end{array}\right.\] のような見かけ上異なる表現が取れたとしても実際は \[s=s’,\ \ \ t=t’\] である.

ベクトルの分解 2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ は$\overrightarrow{\mathstrut 0}$ ではなく,また平行でもないとする.このとき,任意のベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ は実数 $s,t$ を用いて, \[\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\] とただ1通りに表現できる.

補足

 逆に1次独立な2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ を決めると,$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ で張る平面上の任意のベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ は,実数 $s,t$ を用いて, \[\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\] の形でただ1通りに表すことができる.

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