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高校数学ノート[総目次]

数学B 第1章 ベクトル

スライド↓      ノート↓
1. ベクトルと有向線分 無料  【ノート
2. ベクトルの演算 無料    【ノート
3. ベクトルの成分 無料    【ノート
4. ベクトルの内積        【ノート
5. 位置ベクトル         【ノート
6. ベクトル方程式        【ノート
7. 平面ベクトルの応用      【ノート
8. 空間ベクトル         【ノート
9. 空間ベクトルの成分      【ノート
10. 空間ベクトルの内積      【ノート
11. 空間の位置ベクトル      【ノート
12. 空間ベクトルの応用      【ノート
13. 空間のベクトル方程式     【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

2. ベクトルの演算

2.1 ベクトルの加法

 $\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut\rm BC}$ のとき,$\overrightarrow{\mathstrut\rm AC}$ を $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ のといい, \[\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}\] で表す:

ベクトルの加法の性質\begin{align*} &[1]\ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\ (\mbox{交換法則})\\ &[2]\ \ (\overrightarrow{a}\!+\!\overrightarrow{b})\!+\!\overrightarrow{c}\!=\!\overrightarrow{a}\!+\!(\overrightarrow{b}\!+\!\overrightarrow{c})\ (\mbox{結合法則}) \end{align*}

逆ベクトル

 $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と
   大きさ:同じ
   向き :反対
のベクトルを,$\overrightarrow{\mathstrut a}$ の逆ベクトルといい,$-\overrightarrow{\mathstrut a}$ で表す:

$\overrightarrow{\mathstrut\rm BA}=-\overrightarrow{\mathstrut \rm AB}$

注意

 ベクトルでは「$+,\,-$」は正負の意味ではなく向きを表す.

零ベクトル

 始点と終点が一致するベクトルを零ベクトルといい,$\overrightarrow{\mathstrut 0}$ で表す.

注意

 $\overrightarrow{\mathstrut 0}$ の大きさは0,向きは考えない.

$-\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{0}$の性質\begin{align*} &[1]\hspace{5mm}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\\ &[2]\hspace{5mm}\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=(-\overrightarrow{a})+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0} \end{align*}

[2]について

 $\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}$ とすると,

\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut a}+(-\overrightarrow{\mathstrut a})&=\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}+\overrightarrow{\mathstrut\rm BA}\\[5pt] &=\overrightarrow{\mathstrut\rm AA}\\[5pt] &=\overrightarrow{\mathstrut 0} \end{align*}\]

2.2 ベクトルの減法

 $\overrightarrow{\mathstrut a}+(-\overrightarrow{\mathstrut b})$ を $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ のといい, \[\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}\] で表す:

$\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}-\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut\rm BA}$

2.3 ベクトルの実数倍

 $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と実数 $k$ に対して,$k\overrightarrow{\mathstrut a}$ を次のように定める:

1° $\overrightarrow{\mathstrut a}\neq\overrightarrow{\mathstrut 0}$ のとき

  $k>0$ $k<0$
大きさ $|\overrightarrow{\mathstrut a}|$ の $k$ 倍 $|\overrightarrow{\mathstrut a}|$ の $|k|$ 倍
向き $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と同じ $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と反対

 また,$k=0$ のときは,$\overrightarrow{\mathstrut 0}$ と定める.

2° $\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$ のとき

 任意の実数 $k$ に対して, \[k\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut 0}\] と定める.

ベクトルの実数倍の性質 $k,\ l$ が実数のとき,\begin{align*} &[1]\hspace{5mm}k(l\overrightarrow{a})=(kl)\overrightarrow{a}\\ &[2]\hspace{5mm}(k+l)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}\\ &[3]\hspace{5mm}k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b} \end{align*}

補足

 これまでの議論により,ベクトルの和,差,実数倍は,文字式と同じように扱えることがわかる.

 $5\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-(3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b})=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$
 $2(3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b})=6\overrightarrow{a}-8\overrightarrow{b}$

2.4 ベクトルの平行

 $\overrightarrow{\mathstrut 0}$ でない2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ について,向きが同じ,または反対のとき,「$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ は平行である」といい, \[\overrightarrow{\mathstrut a}//\overrightarrow{\mathstrut b}\] で表す.

ベクトルの平行条件 $\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0},\ \overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}$ のとき,\[\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\iff\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\ \ (k\mbox{は実数})\]

補足

 $\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}}{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}$ は $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と同じ向きに平行な単位ベクトルである.

∵)$\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}}{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}=\dfrac1{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}\overrightarrow{\mathstrut a}$ であり,$\dfrac1{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}>0$ により,$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と同じ向き.
 また, \[\left|\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}}{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}\right|=\frac{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}{|\overrightarrow{\mathstrut a}|}=1\] により,単位ベクトル.

$\overrightarrow{a}\left(\neq\overrightarrow{0}\right)$ に平行な単位ベクトルは, \[\pm\frac{\overrightarrow{a}}{\ \left|\overrightarrow{a}\right|\ }\]

 次の定理は重要:

定理 $s,\ t,\ s’,\ t’$ を実数とする. $\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0},\ \overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}$で,$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が平行でないとき, \begin{align*} s\overrightarrow{a}\!+\!t\overrightarrow{b}\!=\!s’\overrightarrow{a}\!+\!t’\overrightarrow{b}\iff s\!=\!s’,\, t\!=\!t’\ \cdots\mbox{①} \end{align*} 特に, \[s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\iff s=t=0\ \cdots\mbox{②}\]

証明

 まず②を示す.

$\Leftarrow$ は明らか.
$\Rightarrow$
 $s\neq0$ とすれば,$\overrightarrow{\mathstrut a}=-\dfrac ts \overrightarrow{\mathstrut b}$.
 これは $\overrightarrow{\mathstrut a}//\overrightarrow{\mathstrut b}$ を意味し,矛盾.よって $s=0$.
 このとき,$t\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$ となり,$\overrightarrow{\mathstrut b}\neq\overrightarrow{\mathstrut 0}$ により $t=0$.

 次に①を示す.

$\Leftarrow$ は明らか.
$\Rightarrow$
 変形して, \[(s-s’)\overrightarrow{\mathstrut a}+(t-t’)\overrightarrow{\mathstrut b}=\overrightarrow{\mathstrut 0}\]  よって②より, \[s-s’=0,\ \ t-t’=0\] \[\therefore s=s’,\ \ t=t’\]

補足

 $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ がともに $\overrightarrow{\mathstrut 0}$ でなく,また平行でないとき,「$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ は1次独立である」という.

2.5 ベクトルの分解

 あるベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ が与えられると,1次独立な2つのベクトルの2方向に分解できる.

左は $\overrightarrow{\mathstrut p}\!=\!s\overrightarrow{\mathstrut a}\!+\!t\overrightarrow{\mathstrut b}$
右は $\overrightarrow{\mathstrut p}\!=\!u\overrightarrow{\mathstrut c}\!+\!v\,\overrightarrow{\mathstrut d}$
($s,t,u,v$ は実数)

 $\overrightarrow{\mathstrut p}$ を $s\overrightarrow{\mathstrut a}\!+\!t\overrightarrow{\mathstrut b}$ のように表すとき,これをベクトルの分解という.

 任意のベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ に対して, \[\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\] と表せるとき,上の定理により実数 $s,t$ は $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ に応じてただ1通りに決定する.即ち, \[\left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{\mathstrut a}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\\[5pt] \overrightarrow{\mathstrut a}=s’\overrightarrow{\mathstrut a}+t’\overrightarrow{\mathstrut b} \end{array}\right.\] のような見かけ上異なる表現が取れたとしても実際は \[s=s’,\ \ \ t=t’\] である.

ベクトルの分解 2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ は$\overrightarrow{\mathstrut 0}$ ではなく,また平行でもないとする.このとき,任意のベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ は実数 $s,t$ を用いて, \[\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\] とただ1通りに表現できる.

補足

 逆に1次独立な2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$ を決めると,$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ で張る平面上の任意のベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ は,実数 $s,t$ を用いて, \[\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\] の形でただ1通りに表すことができる.


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13. 空間のベクトル方程式     【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.