2. ベクトルの演算(ノート)

2. ベクトルの演算

2.1　ベクトルの加法

例

ベクトルの加法の性質\begin{align*} &[1]\ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\ (\mbox{交換法則})\\ &[2]\ \ (\overrightarrow{a}\!+\!\overrightarrow{b})\!+\!\overrightarrow{c}\!=\!\overrightarrow{a}\!+\!(\overrightarrow{b}\!+\!\overrightarrow{c})\ (\mbox{結合法則}) \end{align*}

逆ベクトル

注意

零ベクトル

注意

$-\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{0}$の性質\begin{align*} &[1]\hspace{5mm}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}\\ &[2]\hspace{5mm}\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=(-\overrightarrow{a})+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0} \end{align*}

2.2　ベクトルの減法

例

2.3　ベクトルの実数倍

補足

例

ベクトルの実数倍の性質　$k,\ l$ が実数のとき，\begin{align*} &[1]\hspace{5mm}k(l\overrightarrow{a})=(kl)\overrightarrow{a}\\ &[2]\hspace{5mm}(k+l)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}\\ &[3]\hspace{5mm}k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b} \end{align*}

補足

例
　$5\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-(3\overrightarrow{a}+4\overrightarrow{b})=2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}$
　$2(3\overrightarrow{a}-4\overrightarrow{b})=6\overrightarrow{a}-8\overrightarrow{b}$

2.4　ベクトルの平行

例

ベクトルの平行条件 $\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0},\ \overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}$ のとき，\[\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\iff\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}\ \ (k\mbox{は実数})\]

補足

$\overrightarrow{a}\left(\neq\overrightarrow{0}\right)$ に平行な単位ベクトルは， \[\pm\frac{\overrightarrow{a}}{\ \left|\overrightarrow{a}\right|\ }\]

定理　$s,\ t,\ s’,\ t’$ を実数とする． $\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0},\ \overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}$で，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$が平行でないとき， \begin{align*} s\overrightarrow{a}\!+\!t\overrightarrow{b}\!=\!s’\overrightarrow{a}\!+\!t’\overrightarrow{b}\iff s\!=\!s’,\, t\!=\!t’\ \cdots\mbox{①} \end{align*}　特に， \[s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}\iff s=t=0\ \cdots\mbox{②}\]

補足

2.5　ベクトルの分解

補足