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高校数学ノート[総目次]

数学B 第1章 ベクトル

スライド↓      ノート↓
1. ベクトルと有向線分 無料  【ノート
2. ベクトルの演算 無料    【ノート
3. ベクトルの成分 無料    【ノート
4. ベクトルの内積        【ノート
5. 位置ベクトル         【ノート
6. ベクトル方程式        【ノート
7. 平面ベクトルの応用      【ノート
8. 空間ベクトル         【ノート
9. 空間ベクトルの成分      【ノート
10. 空間ベクトルの内積      【ノート
11. 空間の位置ベクトル      【ノート
12. 空間ベクトルの応用      【ノート
13. 空間のベクトル方程式     【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

12. 空間ベクトルの応用

12.1 一直線上の3点

\begin{align*}&\mbox{3点A,B,Cが一直線上}\\[5pt] &\iff\overrightarrow{\rm{AC}}=k\overrightarrow{\rm{AB}}\mbox{となる実数}k\mbox{が存在}\end{align*}

12.2 平面上の点

 空間内の一直線上にない3点A,B,Cが与えられると,それら3点を含む平面が存在し,かつそのような平面はただ1つである.この平面を平面ABCという.

 平面上の点Pについては次が重要:

\begin{align*}&\mbox{点Pが平面ABC上}\\[5pt] &\iff\overrightarrow{\rm{AP}}=s\overrightarrow{\rm{AB}}+t\overrightarrow{\rm{AC}}\mbox{となる実数}s,\ t\mbox{が存在}\end{align*}

 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut{a}})$,${\rm B}(\overrightarrow{b})$,${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut{c}})$,${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut{p}})$ とすると,上の式は

\[\overrightarrow{\mathstrut{p}}-\overrightarrow{\mathstrut{a}}=s(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{\mathstrut{a}})+t(\overrightarrow{\mathstrut{c}}-\overrightarrow{\mathstrut{a}})\]

\[\therefore \overrightarrow{\mathstrut{p}}=(1-s-t)\overrightarrow{\mathstrut{a}}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{\mathstrut{c}}\]

 ここで,$1-s-t=r$ とおくと,

\[\overrightarrow{\mathstrut{p}}=r\overrightarrow{\mathstrut{a}}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{\mathstrut{c}}\ \ \ (r+s+t=1)\]

 $\overrightarrow{\mathstrut{p}}$ がこのように表されるとき,この表し方はただ1通りであり,次が成立:

${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut{a}}),{\rm B}(\overrightarrow{b}),{\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut{c}}),{\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut{p}})$ について,$\overrightarrow{\mathstrut{p}}=r\overrightarrow{\mathstrut{a}}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{\mathstrut{c}}$ と表されるとき,\[\mbox{点Pが平面ABC上}\iff r+s+t=1\]

例題 図のような直方体において,DEの延長上に DE$=$EF となる点Fをとる.直線OFと平面ABCの交点をPとするとき,$\overrightarrow{\rm OP}$ を $\overrightarrow{\rm OA}$,$\overrightarrow{\rm OB}$,$\overrightarrow{\rm OC}$ で表せ.

\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut{\rm{OF}}}&=\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OB}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\rm{BD}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DF}}}\\[5pt] &=\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OB}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OC}}}+2\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OA}}} \end{align*}\]

 従って,

\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut{\rm{OP}}}&=k\,\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OF}}}\\[5pt] &=k\left(\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OB}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OC}}}+2\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OA}}}\right)\\[5pt] &=2k\,\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OA}}}+k\,\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OB}}}+k\,\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OC}}}\\[5pt] \end{align*}\]

 点Pは平面ABC上にあるから,

\[2k+k+k=1\ \ \therefore k=\frac14\]

 よって,

\[\underline{\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OP}}}=\frac12\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OA}}}+\frac14\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OB}}}+\frac14\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OC}}}}}\]


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