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高校数学ノート[総目次]

数学B 第1章 ベクトル

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12. 空間ベクトルの応用

12.1 一直線上の3点

\begin{align*}&\mbox{3点A,B,Cが一直線上}\\[5pt] &\iff\overrightarrow{\rm{AC}}=k\overrightarrow{\rm{AB}}\mbox{となる実数}k\mbox{が存在}\end{align*}

12.2 平面上の点

 空間内の一直線上にない3点A,B,Cが与えられると,それら3点を含む平面が存在し,かつそのような平面はただ1つである.この平面を平面ABCという.

 平面上の点Pについては次が重要:

\begin{align*}&\mbox{点Pが平面ABC上}\\[5pt] &\iff\overrightarrow{\rm{AP}}=s\overrightarrow{\rm{AB}}+t\overrightarrow{\rm{AC}}\mbox{となる実数}s,\ t\mbox{が存在}\end{align*}

 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut{a}})$,${\rm B}(\overrightarrow{b})$,${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut{c}})$,${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut{p}})$ とすると,上の式は

\[\overrightarrow{\mathstrut{p}}-\overrightarrow{\mathstrut{a}}=s(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{\mathstrut{a}})+t(\overrightarrow{\mathstrut{c}}-\overrightarrow{\mathstrut{a}})\]

\[\therefore \overrightarrow{\mathstrut{p}}=(1-s-t)\overrightarrow{\mathstrut{a}}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{\mathstrut{c}}\]

 ここで,$1-s-t=r$ とおくと,

\[\overrightarrow{\mathstrut{p}}=r\overrightarrow{\mathstrut{a}}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{\mathstrut{c}}\ \ \ (r+s+t=1)\]

 $\overrightarrow{\mathstrut{p}}$ がこのように表されるとき,この表し方はただ1通りであり,次が成立:

${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut{a}}),{\rm B}(\overrightarrow{b}),{\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut{c}}),{\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut{p}})$ について,$\overrightarrow{\mathstrut{p}}=r\overrightarrow{\mathstrut{a}}+s\overrightarrow{b}+t\overrightarrow{\mathstrut{c}}$ と表されるとき,\[\mbox{点Pが平面ABC上}\iff r+s+t=1\]

例題 図のような直方体において,DEの延長上に DE$=$EF となる点Fをとる.直線OFと平面ABCの交点をPとするとき,$\overrightarrow{\rm OP}$ を $\overrightarrow{\rm OA}$,$\overrightarrow{\rm OB}$,$\overrightarrow{\rm OC}$ で表せ.

\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut{\rm{OF}}}&=\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OB}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\rm{BD}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\rm{DF}}}\\[5pt] &=\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OB}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OC}}}+2\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OA}}} \end{align*}\]

 従って,

\[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut{\rm{OP}}}&=k\,\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OF}}}\\[5pt] &=k\left(\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OB}}}+\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OC}}}+2\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OA}}}\right)\\[5pt] &=2k\,\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OA}}}+k\,\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OB}}}+k\,\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OC}}}\\[5pt] \end{align*}\]

 点Pは平面ABC上にあるから,

\[2k+k+k=1\ \ \therefore k=\frac14\]

 よって,

\[\underline{\boldsymbol{\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OP}}}=\frac12\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OA}}}+\frac14\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OB}}}+\frac14\overrightarrow{\mathstrut{\rm{OC}}}}}\]

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