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高校数学ノート[総目次]

数学B 第1章 ベクトル

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9. 空間ベクトルの成分

9.1 空間ベクトルの成分

 空間内の任意のベクトルは,始点が原点Oにくるように平行移動したときの終点が A$(a_1,a_2,a_3)$ とすれば,図のような大きさ1の3つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut e_1}$,$\overrightarrow{\mathstrut e_2}$,$\overrightarrow{\mathstrut e_3}$ (基本ベクトル) を用いて,

\[\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}=a_1\overrightarrow{\mathstrut e_1}+a_2\overrightarrow{\mathstrut e_2}+a_3\overrightarrow{\mathstrut e_3}\]

と表せる.よって平面のときと同様に

\[\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}=(a_1,\ a_2,\ a_3)\]

と表すことができて,これを空間ベクトルの成分表示という.

9.2 空間ベクトルの相等

$\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3),\ \overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2,\ b_3)$のとき,\[\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}\iff a_1=b_1,\ a_2=b_2,\ a_3=b_3\]

9.3 空間ベクトルの和・差・実数倍

$\overrightarrow{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3),\ \overrightarrow{b}=(b_1,\ b_2,\ b_3)$のとき,\begin{align*}&[1]\ \ (a_1,a_2,a_3)\!+\!(b_1,b_2,b_3)\!=\!(a_1\!+\!b_1,a_2\!+\!b_2,a_3\!+\!b_3)\\[5pt] &[2]\ \ k(a_1,\ a_2,\ a_3)=(ka_1,\ ka_2,\ ka_3)\ \ (k\mbox{は実数})\end{align*}

9.4 $\overrightarrow{\rm{AB}}$の成分と大きさ

 2点A$(a_1,\ a_2,\ a_3),\ \rm{B}(b_1,\ b_2,\ b_3)$について,\begin{align*}&\overrightarrow{\rm{AB}}=(b_1-a_1,\ b_2-a_2,\ b_3-a_3)\\[5pt] &|\overrightarrow{\rm{AB}}|=\sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}\end{align*}

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