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高校数学ノート[総目次]

数学B 第1章 ベクトル

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7. 平面ベクトルの応用 [会員]  
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5. 位置ベクトル

5.1 位置ベクトルとは?

 平面上で1点Oを固定する.平面上の任意の点Pの位置は, \[\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}\] というベクトルで決まる.
 このとき,$\overrightarrow{\mathstrut p}$ を点Oに関するPの位置ベクトルといい,位置ベクトルが $\overrightarrow{\mathstrut p}$ である点Pを ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ で表す.

共通の始点Oがどこかにあると考える.

5.2 分点の位置ベクトル

内分点

 線分ABを $m:n$ に内分する点Pの位置ベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ は, \[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut\rm OP}&=\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}\\[5pt] &=\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+\frac m{m+n}\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}\\[5pt] &=\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+\frac m{m+n}(\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}-\overrightarrow{\mathstrut\rm OA})\\[5pt] &=\frac{n\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+m\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}}{m+n} \end{align*}\] \[\therefore \overrightarrow{\mathstrut p}=\frac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m+n}\]

外分点

 線分ABを $m:n$ に外分する点Qの位置ベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut q}$ とする.

$\boldsymbol{m>n}$ のとき

 Bは線分AQを $(m-n):n$ に内分する点だから, \[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut b}&=\frac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+(m-n)\overrightarrow{\mathstrut q}}{(m-n)+n}\\[5pt] &=\frac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+(m-n)\overrightarrow{\mathstrut q}}m \end{align*}\]  これを $\overrightarrow{\mathstrut q}$ について解くと, \[\overrightarrow{\mathstrut q}=\frac{-n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m-n}\]  $m< n$ のときも同様に計算すると,上と同じ式になることが示される.

内分点,外分点の位置ベクトル 2点$\rm{A}(\overrightarrow{a}),\ \rm{B}(\overrightarrow{b})$について,線分ABを\begin{align*} &m:n\mbox{に内分する点P}(\overrightarrow{p}):\hspace{4mm}\overrightarrow{p}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\\[5pt] &m:n\mbox{に外分する点Q}(\overrightarrow{q}):\hspace{4mm}\overrightarrow{q}=\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\end{align*} 特に,線分ABの中点Mの位置ベクトル$\overrightarrow{m}$は\[\overrightarrow{m}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}2\]

例題 △ABCの重心Gの位置ベクトル $\overrightarrow{g}$ を求めよ.

 辺BCの中点を ${\rm M}(\overrightarrow{\mathstrut m})$ とすると, \[\overrightarrow{\mathstrut m}=\frac{\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}2\]  Gは線分AMを $2:1$ に内分する点だから, \[\overrightarrow{\mathstrut g}=\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut m}}{2+1}=\underline{\boldsymbol{\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}3}}\]

三角形の重心の位置ベクトル 3点${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a}),\ {\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b}),\ {\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$について,△ABCの重心Gの位置ベクトル $\overrightarrow{g}$ は\[\overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}3\]

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