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高校数学ノート[総目次]

数学B 第1章 ベクトル

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11. 空間の位置ベクトル

11.1 位置ベクトル

 空間内に1点Oを固定する.
 空間内の任意の点Pの位置は, \[\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}\] というベクトルで決まる.このとき,$\overrightarrow{\mathstrut p}$ を点Oに関する点Pの位置ベクトルといい,位置ベクトルが $\overrightarrow{\mathstrut p}$ である点Pを ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ で表す.

 平面の場合と同様に,2点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$,${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$ について,次が成り立つ:

 2点 A$(\overrightarrow{a}),\ {\rm B}(\overrightarrow{b})$ について,\[\overrightarrow{\rm{AB}}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\]

11.2 分点の位置ベクトル

内分点,外分点の位置ベクトル 2点${\rm A}(\overrightarrow{a}),\ {\rm B}(\overrightarrow{b})$について,線分ABを\begin{align*} &m:n\mbox{に内分する点P}(\overrightarrow{p}):\hspace{4mm}\overrightarrow{p}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\\[5pt] &m:n\mbox{に外分する点Q}(\overrightarrow{q}):\hspace{4mm}\overrightarrow{q}=\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\end{align*} 特に,線分ABの中点Mの位置ベクトル$\overrightarrow{m}$は\[\overrightarrow{m}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}2\]

補足

 平面ベクトルの場合と完全に同一である.

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