このページにある内容は,こちらのスライドでわかり易く説明しています.

高校数学ノート[総目次]

数学B 第1章 ベクトル

  スライド ノート
1. ベクトルと有向線分 [無料]  
2. ベクトルの演算 [無料]  
3. ベクトルの成分 [無料]  
4. ベクトルの内積 [会員]  
5. 位置ベクトル [会員]  
6. ベクトル方程式 [会員]  
7. 平面ベクトルの応用 [会員]  
8. 空間ベクトル [会員]  
9. 空間ベクトルの成分 [会員]  
10. 空間ベクトルの内積 [会員]  
11. 空間の位置ベクトル [会員]  
12. 空間ベクトルの応用 [会員]  
13. 空間のベクトル方程式 [会員]  

3. ベクトルの成分

3.1 ベクトルの成分表示

目標:ベクトルを有向線分以外の方法で表す.

  1. 座標平面上の原点を始点とするベクトルで,終点が点$(1,0)$ の $\overrightarrow{\mathstrut e_1}$ と,点$(0,1)$ の $\overrightarrow{\mathstrut e_2}$ の2つを用意.
  2. 有向線分の始点が原点にくるよう平行移動.
  3. 終点の座標を $(a_1,a_2)$ とすれば, \[\overrightarrow{\mathstrut a}=a_1\overrightarrow{\mathstrut e_1}+a_2\overrightarrow{\mathstrut e_2}\]

 つまり,常に始点を原点にとれば,

ベクトル ←1対1対応→ 終点の座標

 そこで, \[\overrightarrow{\mathstrut a}=(a_1,a_2)\] で表し,ベクトルの成分表示という.

 成分表示されたベクトルに対して,相等と大きさは次のようになる:

ベクトルの成分表示  $\overrightarrow{\mathstrut a}=(a_1,a_2)$,$\overrightarrow{\mathstrut b}=(b_1,b_2)$ のとき,\[\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut b}\iff a_1=b_1\ \mbox{かつ} \ a_2=b_2\] \[|\overrightarrow{\mathstrut a}|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\]

補足

 $\overrightarrow{\mathstrut a}=(k\,a_1,k\,a_2)$ のとき,

\[|\overrightarrow{\mathstrut a}|=|k|\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\]

注意

 成分表示における等号「$=$」は必ず.
 $\overrightarrow{\mathstrut a}(a_1,a_2)$ といった点の座標のようには書かない.

3.2 成分表示の和,差,実数倍

 $\overrightarrow{\mathstrut a}=(2,1)$,$\overrightarrow{\mathstrut b}=(1,3)$,$\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}$ を $\overrightarrow{\mathstrut c}$ とおくと,図より \[\overrightarrow{\mathstrut c}=(3,4)\] 一方, \[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut c}&=\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}\\[5pt] &=(2,1)+(1,3) \end{align*}\] であるから, \[(2,1)+(1,3)=(2+1,1+3)\] が成り立つ.
 また,$2\overrightarrow{\mathstrut a}$ を $\overrightarrow{\mathstrut d}$ とおくと,図より \[\overrightarrow{\mathstrut d}=(4,2)\]  一方, \[\overrightarrow{\mathstrut d}=2\overrightarrow{\mathstrut a}=2(2,1)\] であるから, \[2(2,1)=(2\cdot2,2\cdot1)\] が成り立つ.

 一般に次が成り立つ:

成分表示の和,差,実数倍\begin{align*} &[1]\ \ (a_1,\ a_2)+(b_1,\ b_2)=(a_1+b_1,\ a_2+b_2)\\ &[2]\ \ k\,(a_1,\ a_2)=(k\,a_1,\ k\,a_2)\ \ (k\mbox{ は実数}) \end{align*}

証明

 $\overrightarrow{\mathstrut a}=(a_1,a_2)$,$\overrightarrow{\mathstrut b}=(b_1,b_2)$ は,$\overrightarrow{\mathstrut e_1}=(1,0)$,$\overrightarrow{\mathstrut e_2}=(0,1)$ を用いて, \[\begin{align*} &\overrightarrow{\mathstrut a}=a_1\overrightarrow{\mathstrut e_1}+a_2\overrightarrow{\mathstrut e_2}\\[5pt] &\overrightarrow{\mathstrut b}=b_1\overrightarrow{\mathstrut e_1}+b_2\overrightarrow{\mathstrut e_2} \end{align*}\] と表されるから, \[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}&=(a_1+b_1)\overrightarrow{\mathstrut e_1}+(a_2+b_2)\overrightarrow{\mathstrut e_2}\\[5pt] &=(a_1+b_1,\ a_2+b_2)\\[5pt] \overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}&=(a_1-b_1)\overrightarrow{\mathstrut e_1}+(a_2-b_2)\overrightarrow{\mathstrut e_2}\\[5pt] &=(a_1-b_1,\ a_2-b_2)\\[5pt] k\overrightarrow{\mathstrut a}&=k\,a_1\overrightarrow{\mathstrut e_1}+k\,a_2\overrightarrow{\mathstrut e_2}\\[5pt] &=(k\,a_1,\ k\,a_2) \end{align*}\]


高校数学ノート[総目次]

数学B 第1章 ベクトル

  スライド ノート
1. ベクトルと有向線分 [無料]  
2. ベクトルの演算 [無料]  
3. ベクトルの成分 [無料]  
4. ベクトルの内積 [会員]  
5. 位置ベクトル [会員]  
6. ベクトル方程式 [会員]  
7. 平面ベクトルの応用 [会員]  
8. 空間ベクトル [会員]  
9. 空間ベクトルの成分 [会員]  
10. 空間ベクトルの内積 [会員]  
11. 空間の位置ベクトル [会員]  
12. 空間ベクトルの応用 [会員]  
13. 空間のベクトル方程式 [会員]