6. ベクトル方程式(ノート)
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数学B　第1章　ベクトル

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6．ベクトル方程式

6.1　直線のベクトル方程式

　点${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$ を通り，$\overrightarrow{\mathstrut d}(\neq\overrightarrow{\mathstrut 0})$ に平行な直線を $l$ とする．
　$l$ 上の点 ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$について，

$\overrightarrow{\mathstrut{\rm AP}}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$ または $\overrightarrow{\mathstrut{\rm AP}}\ //\ \overrightarrow{\mathstrut d}$

であるから，

点Pが $l$ 上　　　　　　　　　　　
$\iff \overrightarrow{\mathstrut{\rm AP}}=t\overrightarrow{\mathstrut d}$ となる実数 $t$ が存在

が成り立つ．$\overrightarrow{\mathstrut{\rm AP}}=\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a}$ より， \[\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a}=t\overrightarrow{\mathstrut d}\] \[\therefore \overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut d}\] 　これを直線 $l$ のベクトル方程式といい，$t$ を媒介変数，$\overrightarrow{\mathstrut d}$ を方向ベクトルという．

注意

　方向ベクトルは実数倍の任意性がある．

例題　点(2,1)を通り，$\overrightarrow{d}=(4,3)$ に平行な直線と，$y$ 軸との交点の座標を求めよ．

　$\overrightarrow{\mathstrut p}=(x,y)$ とすると， \[(x,y)=(2,1)+t(4,3)\] \[\therefore\ \left\{\begin{array}{l} x=2+4t\\[5pt] y=1+3t \end{array}\right.\ \cdots\mbox{①}\] 　$x=0$ のとき，$0=2+4t$．$\therefore t=-\dfrac12$．
　このとき $y=1+3\cdot\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac12$．
　よって，直線は $y$ 軸と $\underline{\boldsymbol{(0,-\dfrac12)}}$ で交わる．

補足

　①の2式より $t$ を消去すると，$3x-4y-2=0$ が得られる．

6.2　2点を通る直線のベクトル方程式

　2点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$，${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$ を通る直線のベクトル方程式は，方向ベクトルが $\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}(=\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a})$ と考えて， \[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut p}&=\overrightarrow{\mathstrut a}+t(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a})\\[5pt] &=(1-t)\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b} \end{align*}\] 　ここで $1-t=s$ とおくと，$s+t=1$であり， \[\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\] と表せる．

まとめ　2点A$(\overrightarrow{a}),\ $B$(\overrightarrow{b})$ を通る直線のベクトル方程式は，\[\overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\]　または，\[\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\ \ (\mbox{ただし}\,s+t=1) \]

補足

　$\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ で張る平面上の任意の点P$(\overrightarrow{\mathstrut p})$ は，$s,t$ を実数として \[\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\] と1通りに表せるが，ここに $s+t=1$ という条件が加わると，Pは直線AB上にしか存在できない．

定理 　$\overrightarrow{\rm{OP}}=s\overrightarrow{\rm{OA}}\!+\!t\overrightarrow{\rm{OB}}\ (s,\ t\ $ は実数) で与えられる点Pについて，\[\mbox{Pが直線AB上}\iff s+t=1\]

6.3　法線ベクトルと直線

　点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$ を通り，$\overrightarrow{\mathstrut n}(\neq\overrightarrow{\mathstrut 0})$ に垂直な直線上の点を ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ とする．
　このとき，

$\overrightarrow{\mathstrut n}\perp\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}$ または $\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$

により，$\overrightarrow{\mathstrut n}\cdot\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=0$． \[\therefore \overrightarrow{\mathstrut n}\cdot(\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a})=0\]

まとめ　点A$(\overrightarrow{a})$を通り，$\overrightarrow{n}$に垂直な直線のベクトル方程式は，\[\overrightarrow{n}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\]

　上の式が直線を表していることを確かめてみよう．
　$\overrightarrow{\mathstrut a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow{\mathstrut n}=(a,b)$，$\overrightarrow{\mathstrut p}=(x,y)$ とすると，上の式は \[\begin{align*} (a,b)\cdot(x-x_1,\ y-y_1)&=0\\[5pt] \therefore a(x-x_1)+b(y-y_1)&=0\\[5pt] \therefore ax+by-ax_1-by_1&=0 \end{align*}\] 　従って，この式は直線を表す．

　$\overrightarrow{\mathstrut n}$ を法線ベクトルという．

　逆に直線 $ax+by+c=0$ が与えられると，この直線の法線ベクトル $\overrightarrow{\mathstrut n}$ は $\overrightarrow{\mathstrut n}=(a,b)$ である．

注意

　方向ベクトルと同様に，法線ベクトルも実数倍の任意性がある．

例

　直線 $2x+y-4=0$ $(y=-2x+4)$ の法線ベクトル $\overrightarrow{\mathstrut n}$ は，$\overrightarrow{\mathstrut n}=(2,1)$．

6.4　円のベクトル方程式

　中心 ${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$，半径 $r$ の円周上の点 ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ は， \[|\overrightarrow{\mathstrut\rm CP}|=r\] を満たす．故に， \[|\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut c}|=r\] これを中心 ${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$，半径 $r$ の円のベクトル方程式という．

円のベクトル方程式 　点 ${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$ を中心とし，半径を $r$ とする円のベクトル方程式は， \[|\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut c}|=r\]

　上の式から，図形と方程式の章で学んだ$xy$平面上の円の方程式を導いてみよう．
　$\overrightarrow{\mathstrut p}=(x,y)$，$\overrightarrow{\mathstrut c}=(a,b)$ とおくと，上の式は \[\begin{align*} |(x-a,\ y-b)|&=r\\[5pt] \therefore \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}&=r\\[5pt] \therefore (x-a)^2+(y-b)^2&=r^2 \end{align*}\]

2点を直径の両端とする円

　2点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$，${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$を直径の両端とする円周上の点を ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ とすると，

$\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}\perp\overrightarrow{\mathstrut\rm BP}$ または $\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$ または $\overrightarrow{\mathstrut\rm BP}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$

であるから， \[\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}\cdot\overrightarrow{\mathstrut\rm BP}=0\] \[\therefore (\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a})\cdot(\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut b})=0\]

　2点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$，${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$を直径の両端とする円のベクトル方程式は， \[(\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a})\cdot(\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut b})=0\]

　この式が円を表すことを確かめよう．

　　　　中心の位置ベクトル $:\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}}2$
　　　　　　　半径 　　　　$:\dfrac{|\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}|}2$
　よって， \[\begin{align*} &\left|\overrightarrow{\mathstrut p}-\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}}2\right|=\frac{|\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}|}2\\[5pt] \iff&\left|\overrightarrow{\mathstrut p}-\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}}2\right|^2=\left(\frac{|\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}|}2\right)^2\\[5pt] \iff&\left|\overrightarrow{\mathstrut p}-\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}}2\right|^2-\left(\frac{|\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}|}2\right)^2=0\\[5pt] \iff&\!\left(\!\overrightarrow{\mathstrut p}\!-\!\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}\!+\!\overrightarrow{\mathstrut b}}2\!-\!\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}\!-\!\overrightarrow{\mathstrut b}}2\right)\!\cdot\!\left(\!\overrightarrow{\mathstrut p}\!-\!\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}\!+\!\overrightarrow{\mathstrut b}}2\!+\!\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}\!-\!\overrightarrow{\mathstrut b}}2\right)\!=\!0\\[5pt] \iff&(\overrightarrow{\mathstrut p}-\!\overrightarrow{\mathstrut a})\cdot(\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut b})=0 \end{align*}\]

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