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高校数学ノート[総目次]

数学B 第1章 ベクトル

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6.ベクトル方程式

6.1 直線のベクトル方程式

 点${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$ を通り,$\overrightarrow{\mathstrut d}(\neq\overrightarrow{\mathstrut 0})$ に平行な直線を $l$ とする.
 $l$ 上の点 ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$について,

$\overrightarrow{\mathstrut{\rm AP}}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$ または $\overrightarrow{\mathstrut{\rm AP}}\ //\ \overrightarrow{\mathstrut d}$

であるから,

点Pが $l$ 上           
$\iff \overrightarrow{\mathstrut{\rm AP}}=t\overrightarrow{\mathstrut d}$ となる実数 $t$ が存在

が成り立つ.$\overrightarrow{\mathstrut{\rm AP}}=\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a}$ より, \[\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a}=t\overrightarrow{\mathstrut d}\] \[\therefore \overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut d}\]  これを直線 $l$ のベクトル方程式といい,$t$ を媒介変数,$\overrightarrow{\mathstrut d}$ を方向ベクトルという.

注意

 方向ベクトルは実数倍の任意性がある.

例題 点(2,1)を通り,$\overrightarrow{d}=(4,3)$ に平行な直線と,$y$ 軸との交点の座標を求めよ.

 $\overrightarrow{\mathstrut p}=(x,y)$ とすると, \[(x,y)=(2,1)+t(4,3)\] \[\therefore\ \left\{\begin{array}{l} x=2+4t\\[5pt] y=1+3t \end{array}\right.\ \cdots\mbox{①}\]  $x=0$ のとき,$0=2+4t$.$\therefore t=-\dfrac12$.
 このとき $y=1+3\cdot\left(-\dfrac12\right)=-\dfrac12$.
 よって,直線は $y$ 軸と $\underline{\boldsymbol{(0,-\dfrac12)}}$ で交わる.

補足

 ①の2式より $t$ を消去すると,$3x-4y-2=0$ が得られる.

6.2 2点を通る直線のベクトル方程式

 2点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$,${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$ を通る直線のベクトル方程式は,方向ベクトルが $\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}(=\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a})$ と考えて, \[\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut p}&=\overrightarrow{\mathstrut a}+t(\overrightarrow{\mathstrut b}-\overrightarrow{\mathstrut a})\\[5pt] &=(1-t)\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b} \end{align*}\]  ここで $1-t=s$ とおくと,$s+t=1$であり, \[\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\] と表せる.

まとめ 2点A$(\overrightarrow{a}),\ $B$(\overrightarrow{b})$ を通る直線のベクトル方程式は,\[\overrightarrow{p}=(1-t)\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\] または,\[\overrightarrow{p}=s\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}\ \ (\mbox{ただし}\,s+t=1) \]

補足

 $\overrightarrow{\mathstrut a}$ と $\overrightarrow{\mathstrut b}$ で張る平面上の任意の点P$(\overrightarrow{\mathstrut p})$ は,$s,t$ を実数として \[\overrightarrow{\mathstrut p}=s\overrightarrow{\mathstrut a}+t\overrightarrow{\mathstrut b}\] と1通りに表せるが,ここに $s+t=1$ という条件が加わると,Pは直線AB上にしか存在できない

定理  $\overrightarrow{\rm{OP}}=s\overrightarrow{\rm{OA}}\!+\!t\overrightarrow{\rm{OB}}\ (s,\ t\ $ は実数) で与えられる点Pについて,\[\mbox{Pが直線AB上}\iff s+t=1\]

6.3 法線ベクトルと直線

 点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$ を通り,$\overrightarrow{\mathstrut n}(\neq\overrightarrow{\mathstrut 0})$ に垂直な直線上の点を ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ とする.
 このとき,

$\overrightarrow{\mathstrut n}\perp\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}$ または $\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$

により,$\overrightarrow{\mathstrut n}\cdot\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=0$. \[\therefore \overrightarrow{\mathstrut n}\cdot(\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a})=0\]

まとめ 点A$(\overrightarrow{a})$を通り,$\overrightarrow{n}$に垂直な直線のベクトル方程式は,\[\overrightarrow{n}\cdot(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a})=0\]

 上の式が直線を表していることを確かめてみよう.
 $\overrightarrow{\mathstrut a}=(x_1,y_1)$,$\overrightarrow{\mathstrut n}=(a,b)$,$\overrightarrow{\mathstrut p}=(x,y)$ とすると,上の式は \[\begin{align*} (a,b)\cdot(x-x_1,\ y-y_1)&=0\\[5pt] \therefore a(x-x_1)+b(y-y_1)&=0\\[5pt] \therefore ax+by-ax_1-by_1&=0 \end{align*}\]  従って,この式は直線を表す.

 $\overrightarrow{\mathstrut n}$ を法線ベクトルという.

 逆に直線 $ax+by+c=0$ が与えられると,この直線の法線ベクトル $\overrightarrow{\mathstrut n}$ は $\overrightarrow{\mathstrut n}=(a,b)$ である.

注意

 方向ベクトルと同様に,法線ベクトルも実数倍の任意性がある.

 直線 $2x+y-4=0$ $(y=-2x+4)$ の法線ベクトル $\overrightarrow{\mathstrut n}$ は,$\overrightarrow{\mathstrut n}=(2,1)$.

6.4 円のベクトル方程式

 中心 ${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$,半径 $r$ の円周上の点 ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ は, \[|\overrightarrow{\mathstrut\rm CP}|=r\] を満たす.故に, \[|\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut c}|=r\] これを中心 ${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$,半径 $r$ の円のベクトル方程式という.

円のベクトル方程式  点 ${\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$ を中心とし,半径を $r$ とする円のベクトル方程式は, \[|\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut c}|=r\]

 上の式から,図形と方程式の章で学んだ$xy$平面上の円の方程式を導いてみよう.
 $\overrightarrow{\mathstrut p}=(x,y)$,$\overrightarrow{\mathstrut c}=(a,b)$ とおくと,上の式は \[\begin{align*} |(x-a,\ y-b)|&=r\\[5pt] \therefore \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}&=r\\[5pt] \therefore (x-a)^2+(y-b)^2&=r^2 \end{align*}\]

2点を直径の両端とする円

 2点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$,${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$を直径の両端とする円周上の点を ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ とすると,

$\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}\perp\overrightarrow{\mathstrut\rm BP}$ または $\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$ または $\overrightarrow{\mathstrut\rm BP}=\overrightarrow{\mathstrut 0}$

であるから, \[\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}\cdot\overrightarrow{\mathstrut\rm BP}=0\] \[\therefore (\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a})\cdot(\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut b})=0\]

 2点 ${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a})$,${\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b})$を直径の両端とする円のベクトル方程式は, \[(\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut a})\cdot(\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut b})=0\]

 この式が円を表すことを確かめよう.

    中心の位置ベクトル $:\dfrac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}}2$
       半径     $:\dfrac{|\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}|}2$
 よって, \[\begin{align*} &\left|\overrightarrow{\mathstrut p}-\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}}2\right|=\frac{|\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}|}2\\[5pt] \iff&\left|\overrightarrow{\mathstrut p}-\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}}2\right|^2=\left(\frac{|\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}|}2\right)^2\\[5pt] \iff&\left|\overrightarrow{\mathstrut p}-\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}}2\right|^2-\left(\frac{|\overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}|}2\right)^2=0\\[5pt] \iff&\!\left(\!\overrightarrow{\mathstrut p}\!-\!\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}\!+\!\overrightarrow{\mathstrut b}}2\!-\!\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}\!-\!\overrightarrow{\mathstrut b}}2\right)\!\cdot\!\left(\!\overrightarrow{\mathstrut p}\!-\!\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}\!+\!\overrightarrow{\mathstrut b}}2\!+\!\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}\!-\!\overrightarrow{\mathstrut b}}2\right)\!=\!0\\[5pt] \iff&(\overrightarrow{\mathstrut p}-\!\overrightarrow{\mathstrut a})\cdot(\overrightarrow{\mathstrut p}-\overrightarrow{\mathstrut b})=0 \end{align*}\]

 

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