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高校数学ノート[総目次]

数学B 第1章 ベクトル

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1. ベクトルと有向線分 [無料]  
2. ベクトルの演算 [無料]  
3. ベクトルの成分 [無料]  
4. ベクトルの内積 [会員]  
5. 位置ベクトル [会員]  
6. ベクトル方程式 [会員]  
7. 平面ベクトルの応用 [会員]  
8. 空間ベクトル [会員]  
9. 空間ベクトルの成分 [会員]  
10. 空間ベクトルの内積 [会員]  
11. 空間の位置ベクトル [会員]  
12. 空間ベクトルの応用 [会員]  
13. 空間のベクトル方程式 [会員]  

8. 空間ベクトル

8.1 空間ベクトルとは

 向きと大きさだけを考え,位置を問題にしない空間内の量を空間ベクトルという.
 空間ベクトルの和,差,実数倍は,平面ベクトルと全く同様に計算できる.

空間ベクトルの演算\begin{align*} &[1]\ \ \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}\ (\mbox{交換法則})\\[5pt] &[2]\ \ (\overrightarrow{a}\!+\!\overrightarrow{b})\!+\!\overrightarrow{c}\!=\!\overrightarrow{a}\!+\!(\overrightarrow{b}\!+\!\overrightarrow{c})\ (\mbox{結合法則})\\[5pt] &[3]\ \ \overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}\\[5pt] &\hspace{7mm}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}\\ &\hspace{7mm}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{b})\\[5pt] &[4]\ \ k,l\mbox{を実数として,}\\[5pt] &\hspace{8mm}k(l\overrightarrow{a})=(kl)\overrightarrow{a}\\[5pt] &\hspace{8mm}(k+l)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}\\[5pt] &\hspace{8mm}k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b} \end{align*}

空間ベクトルの平行$\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0},\ \overrightarrow{b}\neq\overrightarrow{0}$のとき,\[\overrightarrow{a}//\overrightarrow{b}\iff\overrightarrow{b}=k\overrightarrow{a}\mbox{となる実数}k\mbox{が存在}\]

8.2 ベクトルの分解

 4点O,A,B,Cは同一平面上にはないとし,$\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}=\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}=\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut\rm OC}=\overrightarrow{\mathstrut c}$ とする.
 いま,空間内の任意の点 ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ に対して,$\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut c}$ に応じた平行六面体が一意に定まり,実数 $r,s,t$ を用いて

\[\overrightarrow{\mathstrut p}=r\overrightarrow{\mathstrut a}+s\overrightarrow{\mathstrut b}+t\overrightarrow{\mathstrut c}\]

と書ける.これは,$\overrightarrow{\mathstrut p}$ の $\overrightarrow{\mathstrut a}$,$\overrightarrow{\mathstrut b}$,$\overrightarrow{\mathstrut c}$ の3方向への分解を表している.

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